LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 29 



Operation hinreichend oft zu einer letzten konstruktiven Unterzahl 

 geririgerer Ordnung von (2 heraufsfceigen, beweisen wir auf Grund des 



00 



vorstehenden allgeniein den Satz, tlays für /3 = E /3 ( "\ ofi = ofi' -\- 



n—i 



-\- a? '. h{ofi") -\- aP'+P". h{cfi'") -f- . . . . , auch wenn die fi { "' keine kon- 

 struktiven U aterzahlen von /3 sind. 



Aus den beiden znletzt bewiesenen Sàtzen folgt weiter, dass die 

 Konstruktion von ofi auf Grund von verse /liedenen Erzeugungsarten 

 von /3 zu gleichen woblgeordneten Ordinalzablen führt. Weil ver- 

 schiedene Erzeugungsarten der Faktoren eines Produktes gleiche 

 Ordinalzahlen für das Produkt liefern, so führt auch die Konstruk- 

 tion von af- auf Grund von versc/iiedeneu erzeugungsarten von cc zu 

 gleichen woblgeordneten Ordinalzablen. 



Mittels der induktiven Metbode beweisen wir noch den Satz : 



(ccPy = a? y . 



Es sei namlicb y = y l -\- y 2 au f Grund der ersten erzeugenden 

 Operation , und es seien die Fornieln 



(«P) y i = cc 13 ^ und (^) r 2 = cfr* 



bewiesen. Alsdann ist 



é y = oPvi+tvi = eft*. é y * = (**) y «. (<*T' 2 = (*T 1+r2 = O* 3 ) 7 - 



00 



Es sei weiter y = E y v auf Grund der zweiten erzeugenden 

 Operation, und es seien die Fornieln 



(ccPf* = cfi y " , 

 mithin auch die Fornieln 



bewiesen. Alsdann ist 



2 (3y 



aP y = cc v=i = o^i + eP* . k(J y ^ + cc^ + ?**. /i(a (3y *) -f . . 



- {«?r + (^f 1 . Ktâ r *\ + (^) ri + r2 - h ^) n i + • • • 



E y 9 



= (ctp) v=1 v = {cc?) y . 



