LOGISCH EN SATZ VOM AITSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 31 



Species F' imter Erhaltung der ordnenden Helationen zugeordnet 

 ist. so schreiben wir F' <F" oder F'' >F', und sagen, dass F" 

 unbestimmt grosser ist als i' 7 ' und dass F' unbestimmt /rieiner ist als 

 F". Schreiben wir noch F' <_F" oder F'i>F', wenn jedem Ele- 

 mente von i^ 1 ' iinter Erhaltung der ordnenden Helationen ein ver- 

 schiedeues Element von i^ 7 " zugeordnet ist, so gelten folgende 

 Eigenschaften: 



1. Die Helationen F' < F" und F' > F" schliessen e mander aus. 



2. Aus F' <F" und F* <F'" sowie aus F' < F" und F' < F'" 

 folgt F' < F'". 



3. Aas F' < F'' und F" < 2?*" folgt F' < i^ 7 '". 



4. Aus F' < .f 7 " «ut* G' < (?" /o^ 2?" -f G' < F" -f G" . 



5. Am F' < F" und G' < G" folgt F' -\- G' < F" -f (9". 



[Inter den wohlgeordneten Ordinalzahlen des ersten Bereichs ver- 

 stellen wir die endlichen Ordinalzahlen , inklusive 0. Weil jeder 

 Abschnitt einer endlichen Ordinalzahl wiederum eine endliche Ordi- 

 nalzahl ist, so ist der erste Bereich wohlgeordneter Ordinalzahlen 

 ununterbrochen, d.h. es kann keine wohlgeordnetè Ordinalzahl exi- 

 stieren, welche nicht zum ersten Bereich gehort, und kleiner ist als 

 eine gewisse wohlgeordnetè Ordinalzahl' des ersten Bereichs. 



Eine wohlgeordnetè Species cc hefsst vollstàndig hiduziert in bezug 

 mi f den ersten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven 

 Interspecies beliebiger Ordnung, sich in der Form a x -j- r x dar- 

 stellen lasst, wo r x eine Ordinalzahl des ersten Bereichs besitzt, 

 wahrend a x entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten Endsegmente 

 eine Ordinalzahl > oj besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder 

 Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = F x -f- F 2 -\- . . . 

 die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den ersten Bereicli 

 vollstàndig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine Fundamental- 

 reihe v., v , . . . existiert, für welche a F ,a F .... nicht fortfallen , 

 oder ein solches n x angegeben werden kann , dass a F für m >• u x 

 fortfallt, ztoeitens ira letzteren Falie entweder eine Fundamentalreihe 

 w,, nu,. . . (m v ~> n.) existiert, für welche r F , r F ,.. . nicht 



fortfallen, oder ein solches n 2 angegeben werden kann, dass r F für 

 'in > n 2 fort lal Ir. 



Eine wohlgeordnetè Species cc heisst unbesümmt induziert in 

 bezug auf den evHten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruk- 

 tiven Unterspeeies beliebiger Ordnung, sich in der Form u x -j- o x dar- 

 stellen liisst, wo o x eine Ordinalzahl des ersten Bereichs besitzt, 

 wàhrend u x entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten Endsegmente 



