32 BEGKÜNDUNG DER MENGENLEHKE UNABHÀ.NGIG VO\L 



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eine Ordinalzahl > co besitzt. Dies wird erreicht, weim hei jeder 

 Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = F 1 -\~ F 2 -j- . . . 

 die betreffende Fundamentalreihe in bezug au/' den ersten Berrie// 

 unbestimmt induzierbar ist, d.h. entweder eine Fundamentalreihe 

 p\, p 2 ,... existiert, fiir welclic F n , F P2 ,... nicht fortfallen, 

 oder ein solches n angegehen werden kann, dass F m für m > n 

 fortfallt. 



Bezeichnen wir diej enigen wohlgeordneten Species welche bei 

 Zulassung als Urspecies uur von Species mit einetn einzigen Element, 

 nicht von Species ohne Element, erzeugt werden, als vollstàndige 

 woldgeordnete Species, und ihre Ordinalzahlen als vollstàndige wohl- 

 geordnete Ordinalzahlen, so sind alle vol /stand/gen wohlgeordneten 

 Species unbestimmt induziert in bezug au/ den ersten Bereich. 



Die vollstândigen wohlgeordneten Species k sind offenbar ent- 

 weder endlicli oder abzâhlbar unendlich und besitzen folgende weitere 

 Eigenschaften : 



1. Es existiert en //reder ein letztes Element, oder eine solche 

 ■ steigende Fundamentalreihe von Elementen e x , e 2 ,..., dass zujedem 



E lemen te e von z ein nar// e liegendes Element e v bestimmt teerden kann. 



2. Jeder echte Rest von x besitzt ein erstes Element. 



3. Jedes Element e von k, mit A usual/ me den ersten, besitzt 

 entweder ein unmillelbar vorhergel/endes Element oder ist Grenzele- 

 ment eine?- steigenden Fundamentalreihe von Elementen von k. Schrei- 

 ben wir nàmlich x = a e -f- r e , wo r e derjenige Rest von x ist, 

 welcher e als erstes Element besitzt, so ist Satz 3 eine unmittel- 

 bare Folge des auf a,, angewandten Satzes 1. 



4. Jedes Element von k, mit Ausnahme drs letzten, falls ein 

 solches existiert, besitzt ein nachstfolgendes Element, wie ara ein- 

 fachsten mittels der induktiven Methode eingesehen wird. 



5. Die Species derjenigen wohlgeordneten Ordinalzahlen, icelche 

 kleiner sind als eine gegebene vollstàndige wohlgeordnete Ordinalzahl 

 /3, besitzt fwenn sie nach der Grosse ihrer Firme, //e geordmet und 

 mil hinzugerechnet wird) die Ordinalzahl /3. Zwischen den Elementen 

 und den echten Abschnittèh einer wohlgeordneten Species der Ordinal- 

 zahl /3 besteht namlich eine solche eineindeutige Beziehung, dass, wenn 

 das Element e 2 nach dem Elemente e x liegt, der Abschnitt a e grosser 

 als der Abschnitt a ei ist. 



Die wohlgeordneten Ordinalzahlen des ersten Bereichs mit Aus- 

 nahme von sind offenbar kondensiert und vollstandig, und je 

 zwei von ihnen sind vergleichbar, d.h. sic sind entweder einander 

 gleich oder eine von. ihnen ist grosser als die andere. Die Sumine 



