LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DltlTTEN. 33 



oder das Produkt einer endlichen Zahl von Ordinalzahlen des ersten 

 Hereichs ist vviederum eine Ordinalzahl des ersten Bereichs. 



Die Summe einer Fundamentalreihe con Ordinalzahlen des ers/en 

 Bereichs ist, wenn si e in be:: ai/ auf den ersten Bereich vollstàndig 

 induzierbar ist, cnfiveder co oder wiederum eine Ordinalzahl des ersten 

 Bereichs. 



Unter einer wohlgèordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom 

 Grade Null verstellen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten 

 Bereichs. Unter einer wohlgèordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs 

 com Grade p (p eine nicht versch windende endliclie Ordinalzahl) 

 verstellen wir eine Zabi 



Pu 

 u . a„ , 



wo jedes p v eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten Bereichs, 

 jêdes a v eine nicht verschwindende endliclie Ordinalzahl undjö der 

 Maximalwert der p v ist. Alsdann dürfen wir annehraen, dass jedes 

 Pv+i <C.Pv ist. Die wohlgèordneten Ordinalzahlen des zweiten Bereichs 

 mit Aiisnahme von sind oftenbar kondensiert und vollstàndig, und 

 je zwei von ihnen sind vergleichbar. Die Summe und das Produkt 

 einer endlichen Zahl von Ordinalzahlen des zweiten Bereichs sind 

 wiederum Ordinalzahlen des zweiten Bereichs. 



Eine Fundamentalreihe /3 t , /3. 2 ,. . . von Ordinalzahlen des zweiten 

 Bereichs heisst vollstàndig induzierbar in bezug auf den zweiten 

 Bereich, wenn eine solche steigende Fundamental reihe v ± , v%,... 

 existiert, dass die Grade von fi n , fl v ,„ . . . entweder bestàndig wach- 

 sen, oder einander gieich sind, wiihrend fur m zwischen v n und 

 v n+i (1er Grad von /3„ ( kleiner ist als der Grad von A, +1 , und, 

 falls die /3„ vom Grade sind, die Fundamentalreihe fi n , (2 n +i , 

 /Sy x +2,. «.• in bezug auf den ersten Bereich vollstàndig induzierbar ist. 



Die Summe einer in bezug auf den zioeiten Bereich vollstàndig 

 induzierbaren Fundamentalreihe von Ordinalzahlen des zweiten Bereichs 

 ist entweder « w oder mederum eine Ordinalzahl des zweiten Bereichs. 



Jeder Abschnitt einer Ordinalzahl des zweiten Bereichs ist mederum 

 eine Ordinalzahl des ztceiten Bereichs. Man sieht dies am einfach- 

 sten ein, wenn man den Satz für die Ordinalzahlen (n — l)-ten Grades 

 als bewiesen annimmt, und hieraus seine Gültigkeit für die Ordinal- 

 zahlen n-ten Grades folgert. Mithin ist der ztocile ebenso wie der 

 erste Bereich wohlgeordneter Ordinalzahlen un unter brochen. 



Eine wohlgeordnete Species cc heisst vollstàndig induziert in bezug 

 auf den zweiten Bereich , wenn sie selbst, sowie dire konstriiktiven 

 (Interspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form a x ' -\~ r a ' bringen 



Verhand. der koii. Akad. v. Wetensch. de Seciie) DI. XII. E 'j 



