36 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHÂNGIG VOM 



Ranges s n _ i} dass w 8 »-* < r n <[ w 8 «— 1+1 ; ebenso eine solche Zaal 



(?<! — 2)-ten Ranges * n _ 2 , dass w s »*-2<j n _ 1 and s w _i -f- 1 •< w*»- 2+ S 

 mitliin 



co < r n < ar 



Indera wir in dieser Weise fortfahren, gelangen wir schlièsslich 

 znr Formel 



co"', a _ o)'". (« -f- l ) 



w w fa -f- 1 Buchstaben w)<r n < w w (/,> -|- ] Buchstaben w), 



wo w und ai gewisse nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen , 

 welche der Grad und der Koeffizient von r„ geiiannt werden, sind. 

 /J/e Summe einer endlic/mi Zr//// von Ordinalzahlen des driften 

 Bereichs ist wieden/ m eine Ordinalzahl des (/rillen Sereic/ts. 



Es seien Eio 1 '». a v und w p , wo weder <v, noch /j verschwindet, zwei 



v=l 



Zahlen des driften Bereichs. Tndem wir an der Mand der Kon- 

 struktion von p mittels der beiden erzeugenden Operationen die 

 induktive Methode anwenden, /eigen wir, dass co v sich niittels dei- 

 beiden erzeugenden Operationen ans Urzaklen w herstellen lasst. 

 An der F land dieser Konstruktion von w p können wir nun die 

 Formel 



v=l 



mittels der indnktiven Methode beweisen, und zwar auf Grund 

 der Tatsachen, dass 



| S oA. a v |. « = a>'' 1 . co ; 

 i/=i 



dass fiir /3 — - /3 X -[- /3 2 auf Grund der eisten erzeugenden Opera- 

 ration, ans 



[ S ft> p ". a,]. /3 X = co' 1 ' . /3j und [ S co ? \ «, |. /3 2 = co"> . /3 2 

 i/=i » i 



folgt 



11 

 v=l 



und dass iï'tr /3 = S /3^ auf Grund der zweiten" erzeugenden Opera- 

 tion, aus 



