LOGLSCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DltlTTEX. 37 



[ 2 ü) Pv . a v ~\. ftp = w" 1 . f2p für jedes // 



folgt 



[S« v ». «"]. |0=« Pl . (2. 



v=i 



Es seien 2 ct)'' v . «„ und I w r, ' x . ^ -{- i TO+1 , wo « 1 , £ w+1 uud die 



ç^ nicht verschwinden , zwei Zahlen des dritten Bereichs. Alsdann 

 ist das Prod ukt 



[ 2 -J\ aj. [ 2 tfe. b„ -f 3 m+ J = S [ 2 ûi*. «,]. «*•. ^ + 



v=l ^ = 1 ^=1 v=l 



+ [ S cc'\ a v ]. b m+i = 2 «H+«m. «„ -j- «pi . (^ * M+1 ) -}- S w r ". a". 



Mit hm ist das Produkt von zwei, also auch einer beliebigen end- 

 liclten Zahl von Ordinalzahlen des dritten Bereichs viederi/m eine 

 Ördinalzahl des driften Bereichs. 



Insbesondere ist, wenu p 1 nicht verschwindet, [ 2 u Pv . a v ~\' cine 



v=1 



" 3 



Zahl des tlritten Bereichs mit dem ersten Glied w' 1 - ' 2 . a x \ [2 w'' y . aj 

 eine Zahl des dritten Bereichs mit dein ersten Glied ui Pl ' 8 .a 1 ; 

 [ 2 co Pv . a v ~\ m (d> eine beliebige nicht versch windende endliche Ordi- 

 nalzahl) eine Zahl des dritten Bereichs mit dem ersten Glied 

 «Pi--"\ « r Mithinist[ S a r *. a,J == 2[2 a Vv .a v J = 2 w p *'f. a x = a^- w . 



V=l f/=l V = l /-t=l 



Auf Grund dieser Eigenschaft können wir, wenn w p , wo p nicht 



verschwindet, eine Zahl des dritten Bereichs ist, an der Hand einer 

 Konstruktion von u p mittels der beiden erzeugenden Operationen 

 aus Urzahlen u, die Formel 



[2« p ". a v ] u " ' = w p * ■"'' 



v=l 



mittels der induktiven Methode herleiten. 



Ml 



Sei nun 2 w' 1 ^. b^ -\- b ljl+i , wo die q [JL und 3 m+1 nicht verschwm- 

 den,' eine weitere Zahl des dritten Bereichs, so ist 



