L0GI8CHEN SATZ VÛM A.USGESCHLOSSENEN DRITTEN. 41 



wachsende Range besitzen oder eine Fundamentalreihe /'",,■ , u" r ,.. ., 

 welche nicht fortfallen, existiert, odcr ein solches n angegeben werden 

 kann, dass //',,- fur m "> n fortfüllt, wàhrend die Fundamental- 

 reihe der Ordinalzahlen von o" F A , o" F .„,... unbestimmt indu- 



1 H-\-i ' 71+2 



zierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. 



Im vorigen liaben wir gesehen, wie zur endliehen Bezeielinung von 

 wohlgeordneten Ordinalzahlen zweierlei Elementarsymbole benutzt 

 werden, nâmlich Zahhymbole, welche je eine bestimmte wohlgeordnete 

 Ordinalzahl repràsentieren , und Verknüpfungssymbole, welche je eine 

 tuis einer beliebig vorgegebenen endliehen Gruppe von wohlgeord- 

 neten Ordinalzahlen eine neue wohlgeordnete Ordinalzahl herleitende 

 Methode repràsentieren. Zur Bezeielinung der Zahlen des ersten 

 Bereichs genügten dabei das Zahlsyinbol 1 und das Verknüpfungs- 

 symbol der Addition ; zur Bezeielinung der Zahlen des zweiten 

 Bereichs kamen das Zahlsyinbol w und das Yerkniipfiingssymbol 

 der iMultiplikation hinzu, wàhrend die weitere Hinzunahme des 

 Verknüpfungssymbols (1er Potenzierung die Bezeielinung der Zahlen 

 des dritten Bereichs eilanbte. Sodann eröftnete das Zahlsyinbol e 

 die Möglichkeit der Bezeichnung audi über den dritten Bereich 



hinausgehender, jedoch unterhalb e 1 = Ee\' (v Buchstaben e) liegen- 



v=l 



der wohlgeordneter Ordinalzahlen. Indem wir auf den Auf ban syste- 

 matischer Theorien von über den dritten Bereich hinausgehenden 

 Zahlbereichen verzichten, beschrànken wir uns nuuinehr darauf, ein 

 Beispiel eines Verknüpfungssymbols anzugeben, welches die Bezeieli- 

 nung. v.on Zahlen grosser als e ± erlaubt. 



Wenn cc eine kondensierte und (2 eine willkttrliclie wohlgeordnete 

 Ordinalzahl ist, so definiëren wir das Symbol [cc, (2\ durch die 

 folgenden Fèstsetzungen : [cc, Oj = cc; [cc, 1} = cc" ; wenn [cc, /3J fiir 

 jedes kondensierte cc als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl 

 definiert ist, und überdies die Differenz [cc, (2\ — cc existiert, so ist 

 [cc, (2 + Ij = [cc, (2\ ! '^ ! = [cc, (2\ + [cc, 0| h [[oc, (2\ " «•."], sodass 

 audi [cc, (2 -f- 1J fiir jedes kondensierte cc als kondensierte wohl- 

 geordnete Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz 

 [cc, (2 -j- 1J — cc existiert; wenn (2 = (2 t -\- (2 2 auf Grund der 

 ersten erzeugenden Operation und sowohl [cc, /3J wie [cc, (2 9 \ fiir 

 jedes kondensierte cc als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahlen 

 definiert ist, und überdies die Differenzen j^,^} — cc und j#,/3.,{ — cc 

 existieren, so ist [cc, (2\ = \[cc, /3J, (2 2 \ = \cc, /3J -j- [[[cc, /3J, /3 2 j — 

 — \ x > /^il]> sodass auch [cc, (2\ fur jedes kondensierte a als 



