42 BEÜRÜNDUNG DEE MENGENLEHH.fi UNÀBHÂNGIG VOM 



kondensierte wolilgeordnete Ordinalzahl definiert 1st, umi überdies 

 die Different [ot, ft — ot existiert; wenn /3 = S ft auf Grund der 



zweiten erzeugenden Operation und {#, ft) für jedes y und jedes 

 kondensierte a als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert 

 ist, und überdies die Differenz [ot, ft] - cc existiert, so îst [cc, ft = 



= i«, ftï + [i«, (ft + ft)] - - 1«, Ai] + [k, (ft_+ ft, + ft)| - 



- — ja, (ft -|- ft)}] -]-..., sodass auch \cc, ft für jedes kondensierte 

 # als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, und 

 überdies die Dift'erenz [et, ft — cc existiert. 



Auf Grund dieser Definition beweist man, in dcrselhen Weise 

 wie die analogen Eigenschaften der Potenz ofi, zunâchst dass, für 

 /3 = ft -f ft, [cc, ft = [et, ft] -f [||«, fti , ft] - - [«, ft]], auch wenn 

 ft und ft' keine konstruktiven Unterzahlen von ftsind, und sodann 



weiter dass, für (2 = ï ft"\ (*, ft = [et, ft] + [(«, (ft -f ft)] — 



- [cc, ft|] + [[et, (ft + ft + ft")] — |«, (ft + ft)]] +.-.., auch 

 wenn die ft"' keine konstruktiven Unterzahlen von (2 sirid, und 

 hieraus folgert man wieder, dass die Kónstruktion von \cc, ft a«/ 

 Grund von verschiedenen Erzeugungsarten von /3 zn gleichen wohl- 

 geordneten Ordinalzahlen t'iihrt. 



Auch zeigt man, mittels der induktiven Methode an der Hand 

 der erzeugenden Operationen von ft lcicht, dass für ein.bestimmtes 

 /3 und ein willkürliches kondensiertes cc, die Kónstruktion von 

 [et, ft #«ƒ Grund von verscïdedenen Erzeugungsarten von cc zu gleichen 

 wohlgeordneten Ordinalzahlen fiihrt. 



'O' 



Wie weit man inzwischen die Einführung neuer Elementarsymbole 

 zur Bezeichnung wohlgeorctoieter Ordinalzahlen auch f'ortsetzt, so làsst 

 sich doch die Species der eingeiïihrten Symbole in jedein Stadium 

 als endlich betrachten, weil jede Definition eincr Fundàinentalreihe 

 <r 1 , er.,,... von Symbolen auf die Definition eines einzigen, auf 

 ein beliebiges Element von A, d.h. auf eine beliebige endliche Gruppe 

 von Zahlen 1 bezogenen Symboles o- hinauskommt; diejenigen 

 Zusainmensetzungen der eingeiïihrten Symbole, welche wohlgeord- 

 nete Ordinalzahlen darstellen, bilden mithin eine abzahlbar unendliche 

 Species, von der übrigens mehrere Elemente dieselbe Ordinalzahl 

 reprâsentieren können. 



Hieraus folgern wir die Unmöglichkeit, ein System er von Elemen- 

 tarsymbolen einzuführen, das die Darstellung aller wohlgeordneten 

 Ordinalzahlen erlaubt. Sei namlich ft die von der der endlichen Zahl 

 v entsprechenden Symbolzusammensetzung von <r dargestellte Ordi- 



