4 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



Terminologie bedient, bei der Rechnmig verwenden sie aber den 

 absoluten Differentialkalkül von Ricci nnd Levi Civita, und dieser 

 Kalkül kann bekanntlich nnr mit den Bestimmungszahlen rechnen, 

 wenn auch in einer abgekürzten Weise, nicht aber mit den Gröszen. 

 selbst. Da nun eine Grösze sowohl kovariante als kontravariante 

 Bestimmungszahlen hat und dazu noch oft die mit V -g iiiultipli - 

 zierten Bestimmungszahlen verwendet werden (Volumtensoren), eine 

 und die selbe Grösze also in vier verschiedenen Formen auftreten 

 kann, wird die Rechnung oft so kompliziert, dasz die allgemeine 

 Relativitiitstheorie der einfachen gegeniiber als besonders schwer 

 mathematisch zu bewiiltigen erscheint. Diesem Uebelstande tritt bei 

 den verschiedenen Autoren stets mehr das Bestreben entgegen die 

 Rcsultate der Rechnung möglichst in kovarianter Form zu bringen, 

 und es ist hier insbesondere eine Arbeit von Fokker ! ) zu erwJihnen. 

 Die logische Fortbildung dieses Bestrebens ist die Verwendung einer 

 direkten Analysis, da diese überhaupt uur die kovariante Form 

 ken ut. Zvvar ist es eine vcrkehrte Illusion die Koordinatenreehnung 

 stets und überall (lurch eine direkte Rechnung ersetzen zu wollen, 

 eine gute direkte Analysis kann aber in manchen Fallen die Rech- 

 nung befreien von Komplikationen, die nicht der Sache selbst an- 

 haften, und die Resultate in eine Foriïï bringen, welehe die Theorie 

 dem Veistandnisz und der Vorstellung weiterer Kreise zugangüch 

 macht. Besonders ware dies von einer direkten Analysis zu erwarten, 

 weieher es geliinge die kovariante Differentiation, die sich bisher 

 uur mit der ziemlich umsliindlichen CHRiSTOFFEi/scben Symbolik be- 

 wiiltigen liesz, iu einer einfacheren Weise dar zu stellen. J. B. Stiaw 2 ) 

 und I 1 '. Jung 3 ) sind sclion in dieser Richtung tii.tig gewesen.") 



Nun liegt die Schwierigkeit bei der Bildung einer direkten 

 Analysis nicht bei den M ultiplikal ionen, die sich leicht definiëren 

 lassen, sondera gerade bei der Differentiation. Diese Sehwierigkeit 

 kann aber vollstândig beseitigt werden duren Einführung der 

 Begriffe: „geodatisch mithewegtes Koordinatensgstem" und „Produkt 

 idea 1er Vektoren'. Das kovariante oder kogrediente Differential ist 

 eben nichts anderes als ein Differential in Bezug auf ein solches 

 mitbewegtes Koordinatensystein, und wenn der Fundamentaltensor 

 als idéales Vektorquadrat geschrieben wird, liiszt sich dieses Diffe- 

 rential sehr einfach in einer Vektorfprmel angeben. Der Operator- 

 kern V erhàlt dann eine. neue Bedeutug, behiilt aber in dieser 



a) Vgl. S. 52 und 53. 

 ') 17. 2. 

 ') 13. 3. 



17. 8, is. 4. 



