RELATIVITÀTSTHEOME. 



I. DAS ZAHLENSYSTEM B ^ DER ORTHOGONALEN 

 GRUPPE IN VIER GRUNDVARIABLEN. 



Höhere Gröszen und ihre Zahlensysteme. 



Unter einer Grösze verstellen wir mit F. Klein den Inbegriff 

 einer Anzahl Bestimnmngszahlen, die sich bei den Transfonnationen 

 einer in gewissen Grundvariablen gegebenen Gruppe „in sich" trans- 

 formieren, d. h. sich so transformieren, dasz bei einer Transformation 

 die neuen Bestimnmngszahlen rein als Eunktionen der alten und 

 der Parameter der Transformation ohne Verwendung irgend welcher 

 fire na der Parameter gegeben werden kunnen. Eine Grösze hat also 

 nur Bedeutung in Bezug auf ganz Isestimmte Gruppen und kann 

 bei anderen Gruppen als solche verschvvinden. Die Orientierungs- 

 weise, d. h. die Transformationsweise der Bestimmungszahlen bei 

 verschiedenen Gruppen ist das einzig wesentliche an einer Grösze, 

 die geometrische Deutnng, die in verschiedenen Weisen erfolgen 

 kann, hat erst an zweiter Stelle Bedeutung. Haben zwei Gröszen 

 bei einer bestimmten Gruppe dieselbe Orientierungsweise, so sind 

 sie in Bezug auf diese Gruppe gleichartig. Sind überdies die Bestim- 

 mungszahlen proportional und ist die Gruppe eine Untergruppe der 

 linearen homogenen, so- sind die Gröszen bis auf einen Zahlen- 

 faktor in Bezug auf diese Gruppe gleich. Auch die Gleichheit und 

 Ungleichheit von Gröszen hangt also von der zu Grimde gelegten 

 Gruppe ab und kann bei verschieden Gruppen verschieden sein. Zu 

 bestimmten Klassen von Gröszen gèhören höhere komplexe Zahlen- 

 systeme, die sich, wenn die vorgelegte Gruppe gegeben ist, nach 

 einem vom Verfasser in 1914 angegebenen Prinzip 1 ), in eindeutiger 

 Weise berechnen lassen , und direkte Analysen bilden , mit deren 

 Hülfe es möglich ist mit den Gröszen selbst ohne Verwendung 

 irgend eines Bezugssystemes zu rechnen. An anderer Stelle 2 ) werden 

 die Système berechnet für Lineargröszen bei der linearen homo- 

 genen Gruppe und fünf ihrer Untergruppen für eine beliebige 

 Anzahl Grundvariablen. Von diesen Systemen bildet das zur ortho- 

 gonalen Gruppe für vier Grundvaiiablen gehörige, lil, die Analysis 

 der Lineargröszen der einfachen Relativiteitstheorie. Es ist der Zweck 

 dieser Arbeit diese Untersuchung auszudehnen auf höhere Gröszen 

 und auf die allgemeinere Gruppe, welche der neueren Relativitats- 

 theorie zu G runde liegt. 



*) 14. 2. 

 l ) 18. 1. 



