8 DIE DI11EKTE ANALYSIS ZUll NEUEltEN 



Die allgemeine, symmetrische und alter nierende Multiplication der 



orthogonalen Gruppe. 



Sind x,j., [/. = a, .. . ,d die Gnnidvariablen der linearen homo- 

 genen Gruppe : 



a, <l a, <i I 



(1) 'a? = 2 cc liV x v , x ti = 2 fi^ 'a?,, | « J = ^ o, 



so wird der Inbegriff jedes Satzes von 4 Zahlen v^, welche dieselbe 

 Transf or mations weise haben alsa?^, huvariantes Grundelement genannt 



und als komplexe Zahl geschriehen : 



(2) v = ç"^e, t 



Zu der zu (1) kontragredienten Transformation: 



a,. ...,d " J 



(3) > = 2 #,„ a* , > == S ^ as» 

 gehören in der selben Weise kontravariante Grundelemente : 



(4) v'JsVe'A"). 



Werden nur diejenige Transformatiqnen der Gruppe betracbtet, 



welclie die kwadratische Form : 



a,...,d 

 v ., 2 



and folglich audi : 



a,..., à | 



invariant lassen, so bilden diese fiir sich die orthogonale Gruppe, 

 die selbstkontragredient ist, und bei der also der Unterscliied zvvisclien 

 kovarianten und kontravarianten Gröszen verschwindet. C A wird bei 

 dieser Gruppe bis auf einen Zahlenfaktor gleich e A \ \Vir setzen diesen 

 Faktor einfachheitshalher gleich J , und führen die Bezeichnung ein : 



(5) 



h 



= 



e„ 



— 



6 a , 



h 



= 



e b 



= 



t/. , 



h 



= 



e c 



= 



e',, 



h 



= 



e, 



= 



eV 



Wir legen die orthogonale Gruppe zu Grande, deuten die Grund- 

 variablen als nicht-homogene rechtwinklige Koordinaten und nennen 

 ein Grundelement Vehtor. Die orthogonale Gruppe enthalt dann 

 aile Drehungen und Spiegelungen bei festgehalteneni Ursprung. 



a) Die Einheiten e selbst transformieren sich kontragredient, die Eiuheiten e' kogredien't. 



