12 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



die nur vorkommt, wenn wenigstens ein Faktor ein Skalar ist, wird 

 als identisch mit der gewöhnlichen algebraischen Multiplikation 

 betrachtet"), nnd ihr Zeichen kann dann, wie üblich, unterdrückt 

 werden. Von hier an verstenen wif also unter 



(14) I V = — V I , I 2 Y = 2 V I , I 3 V = — 3 V I , II 



die * Produkte, und schreiben die allgemeinen Produkte 



I o V , vol, etc. 

 Die Sumine -I = . -\- X ~\~ * ~\~ * ^ eme associative Multiplika- 

 tion, die sedenionische b ). Für das sedenionische Produkt einiger 

 Einheiten gilt, dasz Verwechslung zweier bcnachbarter ungleicher 

 Faktoren mit Zeichenwechsel erlaubt ist {Weehselregel), wiihrend: 



(15) \j -| ij = i, . \j = 1 , ƒ == 1, . . . , 4. (Substitutionsregel). 

 Da das Résultat der oben angegebenen nicht Null erzeugenden 



Verkniipfungen von Einheiten stets dan sedenionischen Produkt der 

 Faktoren gleich ist, gestatten diese beiden llegeln dieses Résultat 

 sofort ohnc Gedachtniszarbeit anzuschreiben , z.B. : 



-I -I 



(lü) i 2 i4 X in = h h h h h = — h h h h U = — h 



Zur Bestimmung des Multiplikationszeichens fïïhren wirdcn Begriff 

 Ueberschiebungsnummer ein. Es sei die Uberschiebungs nummer eines 

 Pvoduktes zweier Einheiten gleich der Anzahl gemeinschaftlicherlndizes. 

 Es gilt dann folgende Regel'). Sind die Stufenzahlen, d.s. die Anzahlen 

 der Vektorfaktoren ''), der Faktoren derart, dasz es nur eine mogliche 

 Dberschiebungsnummer giebt, so korrespondiert -| mit f, z.B.: 

 Ubersoh. nummer : 



l i, Il = i, I 



(1.71 2 i 12 II = î ï2 ! 



3 i 123 -H - i 123 l 

 i 1 il = I I 



Giebt es zwôi mögliche Überschiebungsnuminern, so korrespondiert 

 -| bei der höchsten mit . und bei der niedrigsten mit X> ^ s 



a) 1 >its bang! zusammen mit der [dentifizierung des Produktes 1 I mit 1, vergl. 14.2. 

 s. il „ii.l 18. 1. 



b) In Bezug auf die sedenionische Multiplikation bilden die 16 Einheiten ein sogenanntes 



ursprüngliches associatives System vierter Ordnung, nach Sylvester System der Sedenionen 



genannt. Zu den Lineargröszen der orthogonalen Gruppe in n Grrundvariablen gehort 



allgemein ein System R° mit 2" Einheiten und associativer Multiplikation. Durcb Zerlegung 



n + 2 » + 1 



entstehen die Teilmultiplikatioaen. Ein Produkl zerfalÜ böchstens in ^ bea = 



Teilprodukte für n gerade bez. angerade. Für » = 1 + 4p — q, g = 0, 1,2,3, giebt esp 

 vektorische und p skalare Multiplikationen und für n = — l.+ ir — s, « = 0,1,2,3, 

 r mittlere. Nâheres siehe is. 1. 



c) Diese Regel ist ein besonderer Fall der allgemeinen Überschiebungsregel auf S. 24. 



d) Vergl. S. 29. 



