14 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



Die Gröszen 



(20) 1*4 = 101 = --Hi . i*i2 = Is = — I li2 , 



i*iài = — ii = lia*. c ) cl - !i 2 > 3 > 4 - 



nennen wir in Ansehlieszung an Grassmann die Ergànzungen von 

 L,, ifâ und i_, ;n . Allgemein gilt also die Regel, ofo&g eine MnJteit ( links) 

 sedenionisch multipliziert mil Hirer Erganzung (redits) I erzeugt. 

 Unter Erganzung einer Summe vvird die Summe der Ergânzungen 

 der eiuzelnen Summanden verstanden. Wild in einem Produkt einer 

 der Faktoren (lurch seine Erganzung ersetzt, so geht auch das Pro- 

 dukt iu seine positive oder negative Erganzung iiber. Das Vor- 

 zeichen ist nach (1er Wcchselregel zu bestimmen. 1st der gewâhlte 

 Faktor zweiter Hauptstufe, • so geht dabei . in X ünd X ln • 

 iiber, z. H. : 



(21) a)i Wk . i* 2 -3^=i^.— 1 123=11234 Xfe=- IÎ4=i*4 



^(h. 2 v). 2 w=|(iiIX2V*)1|X 2 w* = --I!(hX 2 v*)1)X 

 X 2 w*-1 2 (iiX 2 v*)X 2 >v*=(iiX 2 v*)X 2 >v*. 



Tn allen anderen Fallen bleiben die Multiplikationszeichen er- 

 halten.") 



= v~\ - 



Setzen wir : 







(22) 





• r • • 



lj =i 1,,, 



1 2 = * lim 



1 3 = i l m 



i 4 ' = —«"lia 



oder allgemein : 







(23) 



• 



\; = i\, j = 



. ..,4, 



so» sind die Rechenregeln invariant bei Ersetzung von i durch i' 

 und gleichzei tiger Ersetzung von i' durch — i. Die Einheiten i jk und 

 I bleiben dabei unverandeit. Zwischen i und i' bestelit also eine 

 koinplizierte Art Dualitàt b ). Dièse Dualitât kann in eine gewöhn- 

 liche umgesetzt werden durch den Uebergang zu den neuen 

 Einheiten : 



a) Dies findet seine TJrsaclie darin, dasz fiir Verkniipfungen, die bei der rotationalen 

 Grrnppe gleich sind, dieselben Zeichen gewahlt sind. 



b) Dualitâten dieser Art treten aucb. bei Grassmann stets auf in Systemen mit gerader 

 Anzahl Grnndeinheiten. 



