24 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



gen Transformation von Bivektoren, und kann demnach treffend als 

 Biveldoraffinor oder, wenn 



(07) (r X s) (t X «) = (t X «) (r X s), 



als Bivehtor tensor bezeiclmet werden. Nicht jeder Bivektoraffinor 

 korrespondiert aber mit einer Veldor trans formation. Dazn ist not- 

 wendig und hinreichend, dasz die zngehörige Bivektortransformation 

 alle einfache Bivektoren in einfache überführt. Ein Bivektortensor 

 mit dieser besonderen Eigenschaft làszt sich schreiben: 



± (P Xq)(pX q) 



und der zngehörige réelle reale Tensor zweiter Ordnung ist dann : 



P 2 = q 2 



Für die Theorie der höheren Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Mass- 

 bestimmiing sind die Bi vektortensoren wichtig, da der Riemann- 

 Christoffelsche Affinor eine Grösze dieser Art ist. 



Die UeberscMebungsregel. ") 



Die alternierenden skalaren Ueberschiebungen sind besonders 

 wichtig für die freien Rechenregeln (2Q). Jedes ., X» f °der * 

 Prod ukt zweier alternierender Gröszen ist niimlich bis auf einen 

 Zahlenfaktor der alternierenden Ueberschiel>nng der Faktoren gleich. 



Dieser Faktor, der Ueberschiebungsfaktor, hat den Wert Çpj ($ jit 



wenn p und q die Anzahlen der Faktoren sind und i die Über- 

 schiebungsnuinmer, nnd ist also der Anzahl der Terme des a/is- 

 gescliriebenen Produit es gleich. (Vgl. S. Io). Es ist aber nicht nötig 

 den Ueberschiebnngsfaktor zu kennen, da dieser gerade einen solchen 

 Wert hat, dasz sàmtliche versehïedene Anordnungen je einmal gezahlt 

 ira Prodnkt auftreten. Dadurch ist es möglich ohne diesen Zahlen- 

 faktor zu verwenden nnd also ohne Gedachtniszarbeit sàmtliche Regeln 

 sofort anznschreiben, wenn nur die Ueberschiebnngsnummer des 

 Prodnktes bekannt ist. Diese Nummer ist folgendernmszen zu be- 

 stimmen. Sind die Stufen (Anzahlen der Vektorfaktoren in den Fak- 

 toren) p und a und die Hauptstufen p' und q' , so ist die höchste 

 Ueberschiebungsnummer u die kleinste der Zahlen p und q nnd die 

 Anzahl der Ueberschiebungen v urn 1 gröszer als die kleinste der Zahlen 

 p' und q'. Die Ueberschiebungsnununern sind also u, . . . . , u — v -\- 1. 

 Für n = 4 ergiebt sich daraus folgende praktische Regel : 



Giebt es nur eine Ueberscldebung , so lorrespo)idiert diese mit der 

 Multiplikaüon *, giebt es zwei UeberscMebungen, so korrespondiert 



a) Naheres siehe 18. 1. 



