32 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



und damit zngleich: 



Syfi 



wo ^ den durch | g | dividierten Minor von g {JLV darstellt, inva- 

 riant erklârt, so sind die Koeffizienten dieser. Formen Bestim- 

 mungszahlen eines ko- bez. kontra varianten Tensors zweiten Ranges: 



(87) 2 g = s?,*, % e„ = a 2 = b 2 = . . , 



2 g' = s^» eV e\ = a' 2 = b' 2 = . . . 



Nach dem Klein'schen Prinzip der Klassifizierung der Geometrien 



ist es nun das Selbe ob'die Eigenschaften irgend eines Systems von 



Gröszen bei der Gruppe, die 2 g' invariant laszt, be trachtet werden, 



oder die Eigenschaften des mit 2 g erweiterten Systems in Bezug auf 



)i(u—i) 

 die lineare homogene Gruppe. Nun giebt es 4 2 Satze von 



Einheiten i , i' so dasz : 



(88) 2 g = i 1 2 + .... + i 4 a ; »g' = i 1 '«+..,;+v 8- ). 



und ebenso kann man Sàtze angeben, so dasz; 



/cm 2o- — i 2 _ \ 2 i 2 i 2 .' • 2 -' = i '2 \ '2 \ '2 \ '2 



In Bezug auf die Bestimmungszahlen 1, 2, 3, 4 und V, 2', 3', 4' 

 ist aber die Gruppe, die 2 g invariant liiszt, die orthogonale Gruppe, 

 und das System K\ musz also aus S 4 l in Verbindung mit 2 g her- 

 vorgehen können. Die Verkniipfungen 



V 1 2 g"' 1 w , v' \ 2 g 1 w' 



sind nun in der Tat identisch mit den ska! aren Produkten y . w und 

 y' . w' in einem System HI mit den Grundeinheiten i 1? . . .,i 4 bez. 

 ii' j 14'j und ebenso sind \ 1 . S.Y P bez. y^. ,j' ;) , p <. n iden- 

 tisch mit alternierenden Produkten in demselben System. Werden 

 also diese Verkniipfungen, aus denen sich nach (20) alle anderen 

 ableiten lassen, eingeführt, so geht S 4 ' bei der bei der orthogonalen 

 Gruppe erlaubten Identifizierung von i mit i' über in i^. Da die 

 /reien Rechenregeln von den zu Grimde gelegten Einheiten unab- 

 hângig sind, entstehen stets dieselben f reien Rechenregeln, unab- 

 hângig davon welche nichtspezialisierte Gröszc 2 g man einführt. 2 g 

 und 2 g' werden identisch und gleich : 



(90) 2 g- = 2 g' = i 1 2 +....+ i 4 2 . 



a) lu der auf' S. 8 gemachten Annahme erfüllen die Einheiten e , e' selbst diese Be- 

 dinsung. . 



