RKLATIVITÂ.TSTHEOME. 39 



so transformieren sich die dx K linear homogen unci also nach der 

 Tabelle (13), wenn man für (2 vli einfiilirt — ^JL. Das Linienele- 



ment kann also als ein kontravarianter Vektor im Sinne des vorigen 

 Abschnittes aufgefasst werden: 



(3) dx' = Zdx>-e\, k=a,...,d 



und die von einem und demselben Punkte ausgehenden Linienele- 

 mentc sind demnach Gröszen eines Systèmes S' n . a ) 



Jedes System von Urvariablen ordnet jedem Punkte ein System 

 von 4 Vektoren q\ zu. Zwischen zwei Vektoren kann nur ein 

 Gröszenvergleich angestellt werden, wenn sie zu demselben Linien- 

 element geboren. Zwei zu demselben Punkte von X k gehorige Vek- 

 toren verschiedener Richtung sind vorlaufig der Grosse nach, unver- 

 gleiclibar , und zwei zu verscbiedenen Punkten von X 4 gehörige 

 Vektoren sind noch überhaupt unvergleichbar , da ihre Bestimmungs- 

 zablen sich bei (1) wohl beide linear homogen transformieren, der 

 Unterschied zwischen diesen Transformation en aber von den ganz 

 beliebigen Funktionen f K abhângig ist. Werden aus den Bestim- 

 mungszahlen von zum selben Punkt gehörigen Vektoren Bestim- 

 mungszahlen von höheren Gröszen gebildet, so gilt das iiber die 

 Vergleichbarkeit Gesagte audi für diese höheren Gröszen. 



Einführang des Fandamentaliensors. 



Es sei jetzt die kwadratische Differentialform 



Sy //V dxv- dx v \g m | — — g ■£ 



f est als Invariante gegeben. Die g, iV seien stetige beliebig oft diffe- 

 renzierbare Punktionen der œ h . In jedem Punkte sind dann der 

 kovariante Fundamentaltensor 



(4) 2 g- = 2^e„e, 



und der kontravariante 



(5) 2 g' = s^»eVe'v 



bestimmt. 2 g werde als Potenz der gleichberechtigten (vergl. S. 11) 

 idealen Vektoren a , h , C , .... geschrieben : 



(6) 2 g = a 2 = w = e = . . . . 



a) Es liegt kein saclilicher, sondern nur ein historischer Grund vor, das Linienelement 

 gerade als kontravariant auf zu fassen. Die Wahl ist gleichgiiltig. 



