IiEIATIVlTÀTSTIIEORIE. 41 



Wie im vorigen Abschnitte dargelegt ist, versclnvindet daim der 

 Unterschied zwischen kovarianten und kontra varianten Gröszen und 

 es bleibt z. B. bei eineni Vektor V, der jetzt stets ohne Accent 

 geschrieben werde, nur der Unterschied zwischen den Bestimmungs- 

 zahlen, die geboren zu c'a, zn Ca oder zu irgendwelchen orthogonale!) 

 Einheiten i-, fur welche gilt: 



(17) % = 2 g' = si / i, i=l,...,4"). 

 Da offenbar 2 g î y = y, folgt: 



(18) v = (ii • y) a. 



Die Formeln (13) und (18) werden sich weiter unten als be- 

 sonders wichtig erweisen. Wir schreiben : 



(ly) v = £ v, e* = s»» e\ = }v J i, x = a,...,d 



und fur das Differential dx : 



, om dx = S dx\ e a = S dx x C'a — S diu; 1 A = a, . . . , d 



{ZU) A A 3 •> ? , 



./ = 1,- . -,4. 

 Dabei ist zu bemerken , dasz die dx K und dx ] itn Gegensatz zu den 

 dx*- keine exakten Differentiale sind, und x K sowie ^ daher fur 

 sich keine Bedeutung haben. ') 



Durch die Einführung des Eundamentaltensors ist die Moglich- 

 keit gegeben Vektoren im selben Punkte der GrÖsze nach zu ver- 

 gleichen und ihre Winkel zu bestimmen. Es ist 



(21) 

 (22) 

 Fur die Vektoren e und e' gilt insbesondere (vergl. S. 32): 



»m = 



= [/ 



y 



V 





cos (y 



w) = 





v • 



"m 



W 



(23) (e*),,, = y/^ • eA =|/ ' g KK (Ca),,, = y/e\ ■ e\ = ]/<j^ 



(24) cos (Ca , e„) == .——- cos (e'A , eV) = 



y/g KK û"* Vo>*9w 



a) Hessenberc. ') hat wohl zuerst ausdriicklich darauf hingewiesen, dasz die Unter- 

 scheidnng zwischen kovarianten and kontra varianten Gröszen unnbtig ist, und damit die 

 volle Konsequenz gezogen ans einer Beruerkung von Eicci und Levi Civita 2 ). Auch 

 Hessenberï; gelangt zu den Vektorensystemen e und e', aber in einer ganz anderen 

 Weise. Vgl. S. 52. 



h) Solche Differentiale verwendet auch Hessenberg. a ) 



') 17. 5 S. 196. 



2 ) 01. 1 S. 144. 



3 ) 17. 5 S. 205. 



