46 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



(48) 'v k = v k -\- d v k — S a x a kj dXj v, , h — 1, . . . , 4. 

 Nun ist aber : 



(49) a d (a . V) = § (% i,. #, <&, -f a k \ u % « ^ v t ) = 



= | i/. («fo* — J r/ ' ö/ o dx i v, ï 

 demi a k a t = für k^l, und die Funktion ar/(a . V) ?'<?/ a/w 

 d«s Differential des Vektors y, beurteilt von einem langs der j-Kurve 

 mitbewegten Koordinatensystem , welches in P mit i and in Q mit 'i 

 zusammenfallt. 



Das geodatisch beicegle Bezugssyste»). 



Zu jeder Stellung des Koordinatensystems in P existiert in jedem 

 Punkte der /'-Kurve eine zugeliörige Stellung. Ein System, welches 

 nacheinaiider diese verschiedenen Stellungen durchlauft nennen wir 

 em geodatisch beicegtes Koordinatensystem. 1st die^'-Kurve geodatisch, 

 so ist nach (42) : 



(50) 'i, = i y — a d (a . i,) = i, ; = 1, . . . . ,4 



und die j Achse des Systems gleitet also, ininier die Richtung der 

 Tangente behaltend, an der Kurve entlang. Dabei wird ein (n — 1)- 

 fach-orthogonaler Streifen gebildet. Jedc nicht geschlossenen geodati- 

 sche Linie einer höheren Mannigfaltigkeit bestimmt also nicht dut in 

 jedem ihrer Punkte eine Richtung, sondern audi uni sich heruni eine 



(» -l)()l-2) 



Orientierung, die durch eine der oo (n — l)-fach-orthogo- 



nalen Streifen der Linie dargestellt werden kann. ") 



Geodàtisches Differential und Differentialquotient. 



Die Funktion a<^(a . V) ist das Differential von V in Bezug auf 

 ein geodatisch mifbetoegtes Koordinatensystem . Wir nennen daher 

 diese Funktion das geodatische Differential von V und schreiben : 



(51) • d\ = ad (il . v). 



'0 T. Levi-Civita liât schon 1917 ') in einer Arbeit, von der mir in folge der Zeitum- 

 stànde erst, naeli FertigsteUung dieses Manuskriptes durcli frenndliclie Vermittlung ein 

 Abdruck in Handen kam, der Begritf des Parallellismus im einem allgemeinen Raum 

 gebildet. Das geodatisch mitbewegte Bezugssystem nimmt nacheinander Lagen ein, die 

 im Sinne Levi-Civita 's parallel sind, und der Begriff der geodâtischen Bewegung ist also 

 in dem Begriff des Parallellismus enthalten. Die Beziehungcn des kovarianten Differentials 

 zu einem geodatisch mitbewegten Bezugssystem, und die grundlegende Bedeutung, welche 

 die Bewegung eines solcben Systems fur die geometrisclien Eigenschaften des Raunies hat 

 (vgl. S. 67 bis 69) sind aber LEvi-Civita noch nicht bekannt gewesen. 



') 17.it. 



