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und Hyperflachen einer flachennormalen Hyperkongruenz eine Urva- 

 riabla a A gewahlt, so ist: 



(144) e A ' = q$p , e A ' . (V" = , A jép. 

 In derselben Weise wie oben wird daiin gezeigt: 



(145) a, 4 a Kv = a v a^ , p., v ^ A, 



mul ebenso : 



(146) ^ «J = fty a * ; ^ y ^ ^ 



Sind sàmtliche Kurven einer Hyperkongrueiiz / geodatisch, so 



ist nach (42): 



(147) a h fi u = — a kj aj = 0. 



Wird zu den Kuiven einer geodàtischen und zu einer bestimmten 

 Hyperflàche normalen Hyperkongruenz tine Ti variable x h gewahlt so 

 dass x A = die Gleichung der Hyperflàche ist, so ist auf dieser Flache: 



(148) ^eVv-^-üs \.eV = ü , a^/x, 



und daraus folgt: 



(1 49) a AA a^ = a KK at* = , A ^ /». 



Wird für Urvariable a?* die von der Hyperflàche <r A = au s ge- 

 messene Lange der Kurven A gewahlt, so isty AA = 1 und demzufolge: 



(149) —^ = « AA « _|_ « A « //A = -f « A «^ s= 7« ^ = °- 



Da aber die y Ai!4> X^\x auf der Hyperflàche #? A = Null sind, 

 sind sie stets Null, und die Hyperflachen von x K sind daher überall 

 normal auf die gegebene Hyperkongruenz. Daraus folgt der Satz : 

 Bilden die P 'arameter linien einer Urvariablen eine geodàtische und 

 normale Hyperkongruenz, und fallen die Parameterhyperflàchen mit 

 den normalen Hyperflachen dieser Hyperkongruenz zwammen, so 

 bleiben die Parameter hyperflachen erhalten . loenn man diese Urvariable 

 dure/i die ent lang der Parameterlinie von einer bestimmten Parameter- 

 hyperflache a us gemessene Bogenlànge ersetzt. ") 



a) 1st iiberdies ve' A = o, d. h. geht die Richtiuig' der Tangente au einer A-Kurve 

 durcli geodàtische Bewegung stets wieder in eine solche Riebtung über, so ist: 



«V e'v : v e' A = e'^ e; 2 v (a.e A ') a = a (i « Av = o, 

 und infolgedessen : 



B 9(tv 



= «Au a V + a (J . «Av = *>• 



■' 



Das Linienelement laszt sich also schreiben: il s 2=« A '+ s 9uv x,ZxV i ' n welclier 



(tV 



Formel (t und v über alle Indizes auszer a zu sunnnieren sind und g„ v von x* unab- 



