64 DIE DlliEKÏE ANALYSIS ZU H NEUEREN 



Der Memann-Christoffel' sche J/f nor G.^^. 



1st ein Vektor V als stetige Funktion der Urvariablen x K ge- 

 geben, so nennen vvir die Aenderung dieses Yektors beim Fort- 

 schreiten langs einer Kurve s, beurteilt von einem geodetisch niit- 

 bewegten Koordinatensystem a us, die geodàtische Aenderung von 

 V in Bezug auf s. Diese Aenderung von A bis B ist offenbar das 

 Integral des geodâtischen Differentials: 



B 



ƒ " v 



A 



1st s geschlossen, so siud im Allgememen die beiden zu den zwei 

 verschiedenen möglichen Wegen von A nach B gehörigen geodâti- 

 sclien Aenderungen nicht gleich : 



B B 



(151) j dr-* f*i 



>A f A 



Sind sie für irgend eine Wahl der Punkte A und B auf der Kurve 

 gleich, so siud sie es für jede Wahl, und das Integral von dv 

 iiber die geschlossene Kurve verschwindet. Verschwindet dieses 

 Integral für jeden Vektor V, so nennen wir die Kurve eindeutig 

 orientiert. Jede geschlossene geodàtische Linie auf einer Flâche ist 

 offenbar dieser Art. AVird durch eine geschlossene Kurve eine 

 Flâche gelegt, und das Flachenstiick in beliebige Teile zerlegt, so 

 ist die Kurve offenbar eindeutig orientiert, wenn saintliche Be- 

 grenzungskurven der Flàchenteile es sind. 



o O m 



Wir betrachten also zunàchst ein Flachenelement mit den vier 

 Eckpunkten ,r\ <r A -f- d i œ h , a? A 4- d { ,v K -f d. 2 x*, x* -f4 x\ 

 X = a,. . . ., d. Das Integral von dy voni ersten I > is zum dritten 

 Eckpunkt ist über die eine Seite : 



d i V + d, V -f d, d { V 

 und über die andere Seite: 



do V + d t V + d x d, V 

 Die beiden Endstellungen unterscheiden sich also uni: 

 (152) A 2 V = <h X' d. 2 x' ' 2 2 V V a ) = 



= ^x'^x":(,va)(a.y)'') 



a) Nach (117). 



b) Nach (120). 



c) Nach (119) und (1 56). 



