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Die geometrische Bedeiitinig con K. 



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Der Affinor K ist ein Biyektortensar, und kann also als Potenz 

 eines idealen Bivektors gcschrieben werden : 



(169) K = 2 k 2 k 



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Geometrisch stellt K eine lineare homogene Transformation von 

 Bivektoren dar. Das Flàchenelement 2 fV<r geht vermöge dieser Trans- 

 formation fiber i*n den Bivektor: 



'(170) . 2 F^ = ( 2 f: 2 k) 2 kr/<7 



und ein Vektor V erfàhrt nach (152) bei der Bewegung der Rand- 

 kurve entlang in Bezu'g auf das geodâtisch mitbewegte Bezugssystem 

 nach einem Umlaut' die Aenderung: 



(171) Jv.= a F<fc-ï'T. 



lm allgemeinen ist ,,F ein zusammengesetzter Bivektor und die 

 relative Bewegung von v ist also eine allgemeine Drehung, urn 

 zwei Ebenen, die vollstandig scnkrecht auf einander stehen. Wird 

 2 F in zwei gegenseitig Vollstandig senkrechte einfache Bivektoren 

 zerlegt, so sind die Ebenen der Drehung die Ebenen dieser Bivek- 



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toren. (Vergl. S. 20 und, 21) Stellt aber K eine Transformation dar, 

 die einfache Bivektoren wieder in einfache überführt, so ist 2 F ein 

 einfacher Bivektor, und die Bewegung ist eine Drehung parallel 

 der Ebene von 2 F, bei der alle Richtungen, die senkrecht auf 2 F 

 stehen, in Ruhe bleiben. In diesem Falie gehort die Bivektortrans- 

 formation zu einer Vektortransformation, und es existiert also ein 

 reaier Tensor p 2 •== (J 2 , so dasz : 



(172) i= ± (p x q)(px q)- ) 



Die geometrische Bedeviling von K. 



Wir betrachten einen beliebigen singularitatenfreien Flachenteil 

 <t und ihre Randkurve s. Ueber die Mannigfaltigkeit X t werde ein 



a) Vergl. S. 21. Die Existent dieses Tensors wird audi gefordert, wenn es müglich 

 sein soil die Mannigfaltigkeit Aj in einen «uklidischen fiinfdimensionalen Raum ein zu 

 betten. (Vergl. S. 74) Die Dimensionenzahl des kleinsten umfassenden euklidischen Eaumes 

 wird durcfa die Bewegungen des Kompaszkörpers vollstandig bestünmt ist. Es gilt der an 

 anderer Stelle') bewiesene Satz: Die Dimensionenzahl des euklidischen Emîmes, in wel- 

 chem eine w-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Ànderung ihrer Maszverhâltnisse unter- 

 gebracht werden kann, ist höchstens der uni u vermehrten Anzahl der „Freikeitsgrade" 

 des Kompaszkörpers gleich. 



') 18. 2. 



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