68 DIE D1REKTE ANALYSIS ZU It NEUEBEN 



Orthogonalnetz i 15 i 2 , i 3 , i 4 , ausgebreitet, sodasi? v mit einer 1, 

 2-Flache zusammenfallt. Beinï Fortstfhreiten entlang der Differential- 

 streche ds dreht sich i t in Bezug auf das geodatisch mitbewegte 

 Bezugssystem , und die geodatisehe Aenderung von i, betràgt : 



(173) »ij = ds' v i r 



Der Vektor d\ liegt ira allgemeinen nicht im 1, 2-Biischel, seine 

 Projektion auf die 1, 2-Flachenrichtung hat aber die Richtung von 

 i 2 und ist gleich i 2 multipliziert rait 



(174) i 2 . {d%\ vi 1 ) = | a rfs?vi 1 : . 



Dieser Ausdruck stellt also die Projektion des Winkels zwischen i 1 

 und i, -j- c/it auf d<r dar. Wir nenncn diese Projektion die auf <r 

 projekiierte geodatisehe Drehung bei der Verrückung d$. Von der 

 niiheren Wahl von \ { und L ist sie nur scheinbar abhangig. Denn 

 für das gedrehte System ij -{-dij lâsst sich nach (I 48) stets schreiben: 



(175) % + 4 = i, + ij ' ( 2 v ^ -f ,w «ftfo ,./ = !,..., 4, 



worin 2 V d(p -\- 2 "W ^ { ^ er Bivektor der infinitesimalen Drehung ist. 

 Die projektierte geodatisehe Drehung ist dann gleich: 



(HG) i 2 . ! i, 1 ( 2 v dep -f 2 w <*J0 Î = (i 2 X U) ' ( 2 v </4> + 2 w cty), 



und dieser Ansdruck ist nur von i, X i 2 , also nur von der Flachen- 

 richtung von da, abhangig. Das Integral der projektierten geodati- 

 schen Drehung liber s ist: 



(l 77) f L ds ? v i a = ƒ ds. |(v U) ! i 2 ) =* — ƒ ds . j (v i 2 ) î i, i 



8 S * 



oder nach dein ervveiterten Stokes'schen Satz (134): 



(178) |i 2 ^s?vi 1 = — 2 [ 2 f 2 v X )(vi 1 )M,(^ = 



= — j> K 2 (i, X i 2 ) da- + 2 f ? ! (v i 2 ) 1 a (v ij 1 a - 



— (viola (vi 2 ) hi| f /cr 



Nun ist 2 f = i, X ij und es ist also: 



(179) fi 2 ds 2 v i t = - ƒ K * Sfd* + j(i, ' v i 2 ). & 1 v U) - 



— (i 1 vi,). (i, 1 vio;^. 



4 



K 2 2 f 2 f içt die RiRMANN'sche Krummung des geometriseben Ortes 

 der geodâtischen Linien, welche die Flâche <r im betrachteten Punkte 



