RELATIVITÂTSTHEORIE. f> 9 



berühren, oder, wie wir kurz sagen wollen, die erzwungene Kriimmung 

 von <r. Dagegen Dennen wir (i 2 \ V i 2 ). (i 1 î V i,) — (j., '! v \.,). (i 2 1 V i,) 

 die Eigenhriimmung von <r. Es ergiebt sich also der Sat/: 



Das Linienintegral der auf einen singularitâtenfreien Flachenteil 

 a projektierlen geodàtischen Drehung Ulier die Raw II: ar cc s ist dem 

 negativen Flâchenintegral der Summe der erzwungenen Kriimmung 

 und der Eigenkrümmung cou a über s gleich. 



Die Summe der erzwungenen Kriimmung und der Eigenkrümmung 

 ist die totale Kriimmung bder Kriimmung im gewöhnlichen Sinne 

 von ff- als zweidiinensionale Mannigfaltigkeit für sich betrachtet. J)ie 

 projektierte geodatische Drehung ist der gewöhnlichen geodàtischen 

 Drehung in dieser Mannigfaltigkeit gleich. 



Erzeugt geodatische Bewegung der Flâchenrichtung von <r entlang 



er stets uur zu a gehörige Flachenrichtungen, so fehlen in den 



letzten Faktoren von v i, und V \ 2 die Einheiten i ; midi,/'). Die 



Eigenkrümmung wird dann Null, und die Flache ist geodâtisch x ). 



'i 

 Wird dagegen K = 0, so verschwindet die erzwungene Kriimmung. 



In einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit X* geht die projek- 

 tierte geodatische Drehung über in die gewöhnliche geodatische 

 Drehung, und da allgemeiri: 



•(180) K i,i 2 i 1 i 2 = — K*î l i 2 i 2 i 1 = — K 4 i 2 i, î*! i 2 = K'i 2 i 1 i 2 i 1 



'i 4 



. K ! ij i, i, i, = K ? i 2 i 2 i 2 i 2 = o , 



geht die Grösze K '' ,f\,f über in : 



k 4 



(181) K 4 \, U i, i 2 = - - !, K 4 (i, i 2 i 2 1\ + 1\ i^l, \, + i 2 i 2 i 2 i 2 + 



i 



H-i 2 i 1 ,i,i 2 ) = -- £K?al>foa = — \K. 



Hier gilt also der erweiterte Bonnet'sche Satz: 



Die totale Drehung des geodâtisch mitbewegten akzugssystems beim 

 Dufclilau J'en einer geschlossenen Kurve s, die /reine singulàren Stellen 

 einschlieszi , ist (dem negativen Linienintegral der geodàtischen Drehung 

 'cher s und) dein Oberjlàchenintegral der Kriimmung — .', A über den 

 am s begrenzten Flachenteil gleich. Die Drehung gilt ah posiiiv , wenn 

 il/r Sinn mil dem Umlaufssinn entlang s übereinstimmt. 



'i' Kehren die Flachenrichtungen von t bei jeder beliebigen geodàtischen Bewegung nur 

 in sich selbst zuriick, so nat der Kompaszkörper nur noch zwei „Freiheitegrade" (ygl 

 S. *>ï) und A - ! kann dann jedenfalls in eine seclisdimensionale euklidïsche Mannigfaltigkeit 

 untergebracht werden. 



') 18. 2 g. 11». 



