RELATIVITÀÏSTHEOETE. 71 



Die Sumnie dieser Krümmungen ist also gleich: 



(183) — J -K?abba = - \K 



und infolgedessen unabhângig von der naheren WahJ der vier Ricli- 

 tungen. — ] / 12 K ist die mittlere Krümmung der Flachenrich- 

 tungen irn betrachteten Punkte. 



Die geometrische Bedeutung von 2 K und 2 G- 



Wahlt man in einem Punkte von X, t eine bestinimte Richtung 

 z. B. ij, und betrachtet man drei gegenseitig halbsenkrechte Flachen- 

 richtungen 12 , 13 , 14 , die 1 enthalten, so ist die Summe ihrer 

 Riemanu'sehen Krümmungen : 



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(184) — K ' l (i, i, i, i, -f h i, i 2 h + ii i 3 h h + h U h h) = 

 = — (a v a) a * ii h h i, = — ( 2 v 1 a) a 2 UU = — 2 K - i t i, 



und dièse Summe ist also unabhângig von der naheren Wahl der 

 drei anderen Richtungen 2,3,4, und giebt eine unmittelbare 

 geometrische Deutiing des Tensors 2 K. Ebenso giebt es drei Flachen- 

 richtungen, 23, 34, 42, die 1 nicht enthalten. Die Summe ihrer 

 Krümmungen ist infolge (183) und (184): 



(1S5) — iJT+«K»I 1 l 1 ==-r-(V a r%--*K)ïI 1 i 1 = «Gîl f l 4 



Dièse .Summe ist also ebenfalls von der naheren Wahl der Rich- " 

 tungen 2, 3, 4 unabhângig und giebt eine unmittelbare geome- 

 trische Deutung des Tensors ' 2 G- Dièse Résultat rühren von Hekglotz 

 her"). Nennen wir die Sumnie der drei ersten Krümmungen die 

 mittlere Krümmung ura i l3 die der drei letzten die mittlere Krüm- 

 mung senkrecht auf t,, so lassen sich die gefundenen Tatsachen 

 ' folgendermaszen aussprechen : 



Die Summe der mittlereii Krilmmungen um eiuen Einheitsvektor i t und 

 senkrecht auf \ ± ist gleich — 1 j 2 K. Die Differ enz der mit tieren 

 Krümmungen um i ± und senkrecht auf i t ist die negative doppelte 



2 K -4- 2 G 



ztoehe Ueberschiebung des Krümmungsdeviators ^ {vergl. #.28) 



mit dem Tensor i ± i v 



a) 16. 10. 



