72 DIE DIRËKTE ANALYSTS ZÜR XEUEREX 



Der ziceite Fundamentaltensor ~\\. ") 



Es sei die Mannigfaltigkeit X\ in einer Mannigfaltigkeit >'- 

 mit déni Fundamentaltensor 2 g' == a'' = b " = eingebettet. Wer- 

 den darin die Parameterlinien der Urvariablen /', x b , c c and co d so 

 gewâhlt, dasz sic für ,/" = ()' ganz in X, fallen, wahrend die 

 Parameterlinien von of se/^krec/tt auf X, stehen, so hat 2 g' in 

 den Punkten von X k die Form : 



( 1 86) a) %' = a' 2 = b' 2 = ... , a = a + d e e. , 



fj) a\ = « A> «' e tf A = , a' e a' e = f/ ee , X = a,. . .,d, 

 wahrend : 



(187) ■. iee te tee , 



v J a) 9 =-, , a =g a e , 



c) ~% 1 a' = a 



Mit jedem Wert von ,/'' korrespondierl eine andere Mannig- 

 faltigkeit X, mid die // A// , A, //, = a, . . . d, sind also als Funktionen 

 von x e auf zu lassen. Die zu X, bez. ) , in Punkten von X 4 ge- 

 hörigen RiEMANN-CuRisTOFFEi/schen Affinoren sind nach (158): 



(1Ss ' k = 2 j v (a.c) X v (b.c) ! (a X b) 



(189) 



K' = 2 j v' (a'.c') X v' (b'.c') ! (a' X b') 



Die in V. liegende Komponeute von K' lüszt sich in vier ïeile 

 zerlegén (vergl. (1873) and (187c)): 



(190) abcd 2 cba*K' = 2 j v(a'.c')X v(b'.c') j (aXb) = 



K H- 2 j v(d e c' e ) X v(b.c) -f 



+ v(a.c) X v(£V„) + 



+ v(aV,)X v(éVj I (aXb) 



a) Es sei nochmals daran erinnert (vergl. 8. 6), dasz sâmtliche Ableitungen der 

 direkten Analysis m. m. für beliebiges n guitig bleiben, hhui audi die Darstellung sich 

 in dieser Arbeit, dem paftikularen Zwecke entsprecbend, im Allgemeineu auf n == 4 

 beschriinkt. 



h) Liegt v in A'j. so ist vv die in A'j gelegene Komponente von v' v. Dies gilt audi 

 vrenn Y-, durch Y n ersetzt wird. Hat Y n euklidisehe Maszbestimmung, so ergiebt sich hier 

 ein "Weg um von dem gewbhnlichen Differentialquotienten zum Begriffe des geodâtischen 

 Diflerentialquotienten zu gelangen. F. Jüng liai diesen Weg gefolgt. (Vgl. S. 53.) 



