82 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN 



(51) ê ds 2 = 2 (dx' dx' 'vèx') ' m g = 2 dx' dx' 1 V Ü (è x' * 2 g). 



Der Wert eines kovarianten Vektorfeldes, z. B. q, in Q ist 

 Q-f^X" 1 vq, das skalare Produkt von q mit irgend einem 

 Linienelement dx' hat sich also in Q geàndert uni: 



(52) ê (q 1 f /x') = $ q 1 tfx' + q 'è dx' = 



= dx' . \èx" vq + (v JxVql 



Sind s, t' und u' beliebige andere ko- bez. kontravariante Vektor- 

 f elder, so ist ebenso: 



è (q . s) = (s J x' \ v q -f ■ q $ x \ v s) ? 2 g 



(53) «J (q ! u') = u' $ x' 2 v q -f q è x 2 v u' 



ê (f . u') == (II' è x' 1 v t' -f t' è x' \ v u') 2 2 g. 



Wir betrachten nun eine scheinbar ganz andere virtuelle Ànde- 

 rung der Welt. Die Materie bleibt an ihrer Stelle, in jedem Punkte 

 erteilen wir aber dem Fundauientaltensor ' 2 g- und allen ko- und 

 kontravarianten Vektorfeldern , z. B. q und t', die Zuwàchse: 



'S 2 g = 2vu(j'x' 1 2 g) 

 ,(54) , ^q = cJx M vq + (vJx') 1 q 



'U' =* J x' 1 v t' — t' 1 v è x. 

 Da 



(55) 



2 g 12 g' = l 



ist: . 





(56) 



'S 2 g- 1 2 g' = - 2 g ? 'J 2 g' 



und infolgedessen : 





(57) '«? 2 g' = — 



2 g' 1 '^g i V = -2(V 1 V)^x' 



Berechnet man nun die skalaren Produkte irgend. zweier in dieser 

 Weise geânderten ko- oder kontravarianten Vektoren mit einander 

 oder mit dx' , wo nötig under Verwendung des geânderten Fun- 

 damentaltensors, so zeigt sich , dasz die Ândérungen dieser Produkte 

 genau mit den in (53) angegeben identiseh sind. 



Die beschriebene Ànderung ist also von der virtuellen Verrückung 

 der Materie iiber Sx' in kenter Weise zu anter scheiden. Demi die 

 Zustandsgröszen der Materie, die Maszbestimmung, die Grösze aller 

 aller Vektoren und ilire Lage in Bezug auf einander und in Bezug 

 auf jedes Linienelement dx' sind jetzt in P genau dieselben wie 

 bei der Verrückung der Materie in Q. Zufolge der gleichen Masz- 

 bostinmiung können also die in den beiden Fallen auftretenden Teile 



