LOGISCHEN SATZ VOM A.Ü8GESCHLOSSENEN DBITTEN. 7 



Eïn Paukt von Q, der gleichzeitig Grenzpunkt von Q ist, heisst 

 ein Kondensationspunkt von Q. 



Wenn das Quadrat q des Punktes P kein Quadrat eines Punktes 

 der Punktspecies Q in seineni Innern enthalten kann, so heisst P 

 ein von Q freier Punkt. 



Wenn das Quadrat q des Punktes P die Eigenschaft besitzt, 

 dass je zwei in q enthaltene Quadrate von Punkten von Q nicht 

 ausserhalb voneinander liegen, so heisst P ein von Q unbegrenzter 

 Punkt. 



Ein zu Q gehöriger, aber von Q unbegrenzter Punkt heisst ein 

 isolierter Punkt von Q. 



Wenn jeder Punkt der Ebene von der geschrankten Punktmenge 

 7T unbegrenzt ist, so f al it tt mit einer solclien Punktmenge zusammen, 

 zu deren Kardinalzahl h ei ne endliehe Kardinalzahl k^> h gefunden 

 werden kann. Sei namlich K das Quadrat, in dein die Punktmenge 

 TT, welche wir als gleichmàssig voraussetzen dürfen, enthalten ist. 

 Wir betrachten die Menge p derjenigen Punkte, deren erstes Quadrat 

 q 1 ein willkiirliches von K ganz oder teilweise überdecktcs Quadrat 

 X v deren zweites Quadrat q 2 ein willkürliches im Innern von q x 

 enthaltenes Quadrat A 3 , deren drittes Quadrat q 3 ein willkürliches 

 in q 2 enthaltenes Quadrat A 5 usw. ist. Wenn jeder Punkt von p 

 von TT unbegrenzt ist, so muss màn bei der Erzeugung der Punkte 

 von p nach einer encllichen Wahlfolge M fester Kaxdinalzahl m die 

 Sicherheit erlangt haben, dass nach einer weiteren encllichen Wahl- 

 folge der von M abhiingigen Kardinalzahl m x ein Quadrat q erzeugt 

 wird, ïnnerhalb dessen je zwei Quadrate von Punkten von tt nicht 

 ausserhalb voneinander liegen. Mithin liegen, wenn wir das Maximum 

 von m x mit m' und m -\- m' mit m bezeichnen, je zwei im selben 

 von K ganz oder teilweise ûberdeckten Quadrate A 2m »_^ enthaltene 

 Quadrate von Punkten von tt- nich-t ausserhalb voneinander. Wir 

 bestimmen nun eine solche Zahl v, dass die Seitenlange der von 



1 

 den !/-ten Wahlen von it erzeugten Quadrate q' v < ^^-^^ st, lassen von 



ù 



den Quadraten q' v , (welche offenbar von einer ziihlbaren Wahlspecies 

 erzeugt werden), diejenigen fort, welche nicht ausserhalb aller vor- 

 hergehenden liegen, und weisen jedem der mit q" v zu bezeichnenden 

 iibrigen zu: erstens ein solches Quadrat A 2m -_i, dass zunâchst die 

 Mittelpunkte der beiden Quadrate einander möglichst nahe liegen, 

 Avàhrend im übrigen der Mittelpunkt des letzteren Quadrates möglichst 

 grosse Koordinaten besitzt, so dass je zWei verschiedenen Quadraten 

 q" v zwei verschiedene Quadrate /.,,„■_! zugewiesen werden; ziveitens 

 denjenigen Punkt P" von tt, der erhalten wird, indem Avir nach 



