8 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM 



der q" v erzeugenden Wahl immer wieder den erstmöglichen Ziffern- 

 komplex von Ç walden. Die Kardinalzahl der Punkte P" bezeichnen 

 wir mit h, die endliehe Kardinalzahl der von J£ganz oder teilweise 

 überdeckten Quadrate à 1iii ~_ [ mit k. Alsdaim ist h <C k und jeder 



Punkt von t fàllt mit einem Punkte P" zusammen, worn it misere 



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Behaiiptung bewiesen ist. 



Dieselbe Schlussweise führt mit einer geringen Abanderung zu 

 folgendem Résultat : W erin jeder Punkt der Ebene von der gesch rank- 

 ten Punktspecies Q unbegrenzt ist, so fàllt Q mit einer solchen in 

 eine Species der Kardinalzahl h von punk Herten Species zerlegten 

 Punktspecies zusammen, dass eine endliehe Kardinalzahl k > // ge- 

 funden werden kann. 



Es existieit kein Grund zu behaupten, dass diese Eigenschaft 

 auch für andere geschrankte Punktmengen bzw. Punktspecies, für 

 welche kein Grenzpunkt existieren kann, ihre Gültigkeit bchalte. 

 Ebenso ware die Aussage, dass jede unendliche geschrankte Punkt- 

 species notwendig einen Grenzpunkt besitzen müsse, vollstandig 

 unberechtigt. 



Eine Punktspecies Q, von der jeder Punkt Kondensationspunkt 

 ist, heisst in sic h dicht. 



Wenn jeder Limespunkt der Punktspecies Q mit einem Punkte 

 von Q zusammenfallt, so heisst Q abgeschlossen. Der Durehschnitt 

 einer Species von abgeschlossenen ganzen Species ist wiederum eine 

 abgeschlossen e ganze Species. 



Eine Punktspecies, welche sowohl in sich dicht wie abgeschlos- 

 sen ist, heisst perfekt. 



Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche (2 überall dicht, wenn 

 in jedem von fi vollstandig überdeckten Quadrate A ein Punkt von 

 Q enthalten ist. 



Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche /3 nirgends dicht, wenn 

 innerhalb jedes von /3 vollstandig überdeckten Quadrates A ein 

 weiteres Quadrat A liegt, in dem kein Punkt von Q enthalten 

 sein kann. 



Die (offenbar ganze) Species der Limespunkte der Punktspecies 

 Q heisst die Abschliessung von Q. Jeder Limespunkt der Abschlies- 

 sung von Q gehort zur Abschliessung von Q. Eine abgeschlossen* 

 Punktspecies lasst sich auch als eine Punktspecies, deren Abschlies- 

 sung und Ergânzung identisch sind, definiëren. 



Die (offenbar ganze) Species der Grenzpunkte der Punktspecies 

 Q heisst die Ableitung von Q. Jeder Grenzpunkt der Abschliessung 

 von Q, sowie jeder Limespunkt der Ableitung von Q ist ein Punkt 



