12 BKGHÜNDUNG DER MENGENLEHRti UNABHÀNGIG VOM 



induktiven Methode eingesehen wird: Jeder Punkt P von (1)tt ist 

 Grenzpunkt von t, also von ©}(0)x, ir{\)\ , besitzt aber ein Quadrat 

 q, innerhalb dessen kein Paar ausserhalb voneiriander liegender 

 Quadrate von %{\) liegen kann, so dass innerhalb jedes innerhalb 

 q liegenden Quadrates von P zwei ausserhalb voneinander liegende 

 Quadrate von (0)tt liegen und demzufolge P Grenzpunkt von (0)t 

 ist. Es sei nun /3 = /3 X -|- /3 2 auf Grund der ersten crzeugenden 

 Operation und es sei der fragliche Satz sowohl für /^ und /? 2 wie 

 für jedes (2 l und jedes (2 2 bewiesen. Alsdann ist jeder Punkt vod 

 (/3)tt = ((%(/3)j = (0)jMft)!ftj = (ft)|«tft)] Grenzpunkt von 

 (O)}^/^)} =(/3 1 )?r und jeder Punkt von (/S^tt Grenzpunkt von (0)tt, 

 raithin jeder Punkt von (/3)tt Grenzpunkt der Ableitung von (0)tt 

 und demzufolge Punkt der Ableitung von (0)tt. Es sei w.eiter 



00 



j6 = S/S v auf Grund der zweiten crzeugenden Operation und es sei 



v=l 



der fragliche Satz sowohl für jedes /3„ wie für jedes fi v bewiesen. 

 Alsdann ist jeder Punkt P von (/2)tt Grenzpunkt von tt, also von 

 (£)j[/3]x, t(|8)J, besitzt aber ein Quadrat ^, innerhalb dessen kein 

 Paar ausserhalb voneinander liegende Quadrate von t((2) liegen kann, 

 so dass innerhalb jedes innerhalb q liegenden Quadrates von P 

 zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von [/3Jt, raithin zwei 

 ausserhalb voneinander liegende Quadrate von Punkten der Ablei- 

 tung von (0)t liegen und demzufolge P Grenzpunkt von (-O)tt ist. 

 Wenn die Punktmenge x cine Abbrechung erster Ordnung zufasst, 

 so faut (0)tt mit einer zàhlbaren, örtlich indioidualisierten Punht- 

 menge zusammen. Sei nainlich p x die zahlbare M enge der zu (0)t, 

 nicht aber zu tt( L) gehörigen ungehennnten endliehen Wahlfolgen, 

 Tj die ebenfalls zahlbare Teilmengc von (0)tt, welehc entsteht, wenn 

 jedes Element von p 1 derweise fortgesetzt wird, dass immer wieder 

 der erstmögliche für [0)t zugelassene Ziffernkomplex von <f gewiihlt 

 wird. Alsdann fallt jeder Punkt von (OV mit einem Punkte von 

 TTj zusammen. Weiter besitzt ein willkürlicher Punkt P von ir l ein 

 Quadrat q, innerhalb dessen nicht zwei ausserhalb voneinander lie- 

 gende Quadrate von tt 1 liegen können, so dass ein willkürlicher 

 Punkt P' von tt, , der auf Grund der Zahlbarkeit von Xj auf P 

 folgt, ein solohes Quadrat q' besitzt, dass P' mit P zusammenfallt 

 oder von P örtlich verschieden ist, je naehdem q' innerhalb oder 

 nicht innerhalb q liegt, Indem wir mithin die Punktmenge t x 

 zunàchst nach ihrer Zahlbarkeit ordnen und sodann von ihr jeden 

 mit einem vorangehenden zusammenfallenden Punkt fortlassen, 

 erhalten wir eine örtlich individualisierte und noch immer zahlbare 

 Punktmenge 7T 2 , mit der tt 1 und demzufolge auch (0)t zusammenfallt. 



