14 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNAWIÀ.NGIG YOM 



jedcs n eine solcbe endliche Menge s n von Quadraten X, Xn ange- 

 geben werden kann, dass jedes nicht zu s„ gehörige Quadrat À /J . n 

 zu keinein Punkte von Q gehort and zu jedem Quadrate von s n 

 fur jedes nicht negative m eiu Quadrat X [ln+m von Q existiert, von 



dem es eine Entfernung < — besitzt. 



Jede katalogisierte Punktspecies ist limitierbar. Urn dies zu be- 

 weisen, bezeichnen wir die Menge der Quadrate von s„ ganz oder 

 teilweise überdeckenden Quadrate A //y/ mit t„ , bestimnien eine solche 

 Fundamentalreihe n 1 , n 2 ,..., dass p ay+1t > fi„ v -\- 4 und konstru- 

 ieren zu eine m willkürlichen Quadrate q v von t„ v zwei kouzeutrische 

 Quadrate q' v und q\, deren Seitenlauge f bzw. f der Seitenlauge 

 von q, betrâgt. Alsdann köunen wir nach einem durch die <r nv und 

 die p bestimmten Verfahren niittels Betraclitung von s„ f , wo p 

 sieh als eine Funktion <p(v) von v festlegeu lâsst, mit Sicherbeit 

 feststellen, entweder dass alle Punkte der Abschliessung 11 von Q' 

 ausserhalb q' v liegen, oder dass zu E in ?"„ euthaltene Punkte ge- 

 hören. Indem wir diejenigeri Quadrate q v , für welclie der letztere 

 Fall vorliegt, als Quadrate k v bezeichnen und der Reihe nach ein 

 Quadrat Jt t , ein Quadrat k 2 usw. in soldier Weise dass jedes von 

 ihuen nu Innern des vorangehenden liegt, übrigens aber willkürlich 

 walden, erzeugen wir eine mit E zusammenfallende Punktmeiige 8 Q . 

 Mit Rücksicht auf das weitere sorgen wir überdies dafür, 

 dass u > fi m 4-5, bestimmen p = (p(v) durch die Forderuugen 

 ,, >„ _i_7 und o- > //, 4-G, konstruieren noch ein drittes 

 mit q v konzentriscb.es Quadrat q'" v> dessen- Seitenlauge \\ der Seiten- 

 lauge von q v betrâgt uud rechnen q v dann und nur dann zu den k v , 

 wenn s„ teilweise innerhalb q'" v liegt. 



Dieselbe Schlussweise liefert den 13eweis des folgenden Satzes: 



• Wenn firn jedes n eine endliche Menge s n von Quadraten X^ n de fi- 

 nier I isi in sok/ter Weise, dass jedes Quadrat eon s l ,_ fi im Innern 

 eines Quadrates eon s„ ent halten ist und <r { , o" 2 ,... eine sotclic 

 Fundamentalreihe von nicht abnehmendeu eudtictien Zat/ten darstellt, dass 

 & n für hinreichend grosses n jede G renzo üèersteigt, wàhrend zu jedem 

 Quadrate von s n für jedes positive m ein Quadrat von s n+m exi- 

 stiert, von dem es eine Entfernung < — besitzt, so ist die Species 



Z " 



11 der in jedem s u enthattenen Punkte mit der Abschliessung einèr 

 hatalogisierten Punktspecies identisch. l ) 



i) Ans dem obigen Satze lâsst sich, wenn wir einen Lim'espunkt vou in der endlichcn 

 Quadratmenge /.' enthaltenen Punkten als zu k gehorend bezeichnen, weiter folgern: 



