LOGISCHEN SATZ YOM ÀUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 15 



Wir sagen, dass die katalogisierte Punktspeciês Q eine Katalogi- 

 sierang erster Qrdnung zulâsst, wenn <r' x , <r' 2 ,... eine solche 

 Fundamentalreihe von nicht abnehmenden endlichen Zahlen ist, dass 

 <r'„ für hinreichend grosses n jede Grenze übersteigt uud die Quadrat- 

 menge s n für jedes n in zwei solche Quadratmengen s' n und .s n 

 zerlegt ist, class zu jedem Quadrate von 's',, ein einen Grenzpunkt von 

 Q enthalteodes Quadrat von s n existiert, von dein es eine Entfernung 



<" — — besitzt, und in keinem Quadrate von .s„ ganz oder teilweise 

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überdeckenden Quadrate A^ ein Grenzpunkt von Q enthalten sein 



kann. Wenn überdies für jedes n jeder in einem Quadrate von l s n 



enthaltene Punkt von Q isoliert ist, so sagen wir, dass Q eine 



isolierende Kafalogisierung ersier Ordnung zulâsst. 



Hierbei.düifen wir annehmen, zunâchst dass <r n <C fx n — 2 für 

 jedes n, und auf Grund davon weiter, dass <r' n = <r n für jedes n ist. 

 Urn namlich letzteres zu erreichen, brauchen wir für <r' n <] <r n uud 

 Pn+m^LPn nül ' diejenigen Quadrate ans s' n fortzulassen , welche, 

 ebensowenig wie die angrenzenden oder von ihnen teilweise iibcr- 

 deckten Quadrate X lJL , ein Quadrat von s' n+m in ihrem Innern 

 enthalten. 



Wenn Q eine Katalogisierung ersier Ordnung zulâsst, so kann die 

 Ableitung Q <x) als Abschliessung einer hatalogisierten Punktspeciês 

 dargestellt werden. Man findet namlich eine entsprechende Quadrat- 

 menge t}^ in der Menge aller Quadrate von s' n ganz oder teilweise 

 überdeckenden Quadrate X u . 



Wenn Q eine isolierende Katalogisierung ersier Ordnung zulâsst, 

 so làsst überdies die entsprechende Panktmenge S Q eine Abbreclmng 

 ersier Ordnung zu. Das Verfahren welches die 7>\ (i) unter den q} X) 

 und die /„ unter den q v auswàlilt, bestimnvt namlich die / v (1) &us- 

 schliesslich unter den k v . Wenn wir weiter zu jedem q v noch ein 

 viertes konzentrisches Quadrat q v " H konstruieren, dessen Seitenlange 

 |^ der Seitenlange von q v betrâgt, und eine ein l\, nicht aber eirr /,\ {[ ' 



Wenn f*i, f*2,... und vy, r%,. .. solche Fundamentalreihen von fiXcht abnehmenden 

 endlichen Zahlen sind, </"« p n umi r n fur hinreichend grosses u !<■<!<■ Grenze ïiber- 

 steigert umi fur jedes h i-i ar endliche Menge r n von Quadraten A„ B definierl i^i in 

 solcher Weise, dass jedes Quadrat von >'. l + ] enlweder Teilquadrat eines Quadrates von 

 r n "iliT mil einem Quadrate von r n idenlisch ist, wâhrend :u jedem Quadvate von r n 

 fur jedes 'positive m riu Quadrat run r„. m existiert, ran dem es eine Entfernung 



<Z—zr- besitzt, .so ist die Species der zu jedem s„ g ehör enden Punkle mit der Abschlies- 

 sung einer hatalogisierten Punktspeciês identisch. Dies folgt unmittelbar ons dem obigen 

 Satze, wenn wir jedes r n dureli die Menge der Quadrate von r n ganz oder teilweise ü,ber- 

 deckenden Quadrate A„ n ersetzen. • 



