LOGISCHEN SATZ VOM A.USGESCHLOSSENEN DRITTEN. 21 



der je in einein Ziegelquadrate von (2 enthaltenen Pu'nkte werden 

 'wil' auch kurz als den Bereic/i (2 bezeichnen. 



Jedex Bereidt, fiilll mit einer nwmerierten Vunktmenge zwammen. 

 lm dies zu beweisen, zerlegen wir die Quadrate von /3 in solcher* 

 Weise in als Quadrate zweiter Ordnung con (2 zu bezeichnende, von 

 keinem Ziegelquadrate von (2 zerlegte Quadrate k, class die Seiten- 

 langen der innerhalb eines wil Ikür lichen Ziegelquadrates z von (2 

 liegenden Quadrate zweiter Ordnung von (2 höchstens l drs Massstabes 

 von z, d.h. des Minimums der Seitenlângen von z und den z teilweise 

 überdeekenden Ziegelquadraten betragen, im iibrigen aber mögliehst 

 gross sind. Ans den Quadraten zweiter Ordnung von (2 leiten wir 

 die Ziegelquadrate zweiter Ordnung von (2 in derselben Weise her, 

 wie wir ans den Quadraten von (2 die Ziegelquadrate von (2 lier- 

 geleitet hahen. Sodann leiten wir der Keilie nach für jedes n aus 

 den Quadraten und Ziegelquadraten «-ter Ordnung von (2 die 

 Quadrate und Ziegelquadrate (n -{- \)-tcr Ordnung von (2 in derselben 

 Weise her, wie wir aus den Quadraten und Ziegelquadraten von (2 

 die Quadrate und Ziegelquadrate zweiier Ordnung von (2 hergeleitet 

 haben. Indem wir der Reihe nach für jedes n ein Ziegelquadrat 

 K-ter Ordnung von (2 in solcher Weise, dass jedes dieser Quadrate 

 im Innern des vorangehenden liegt, fibrigens aber willkürlieh wahlen, 

 erzeugen wir eine numerierte Punktmenge tt^, welche mit j2 znsani- 

 menfallt. Sei namlich die Quadratfolge q ± , q 2 ,. . . ciu Punkt P von (2. 

 Wir bestimmen eine mögliehst kleine derartige Zahl n it dass q„ im 

 Innern eines Ziegelquadrates <z 4 von (2 liegt und vom Uande von 

 a x eine wenigstens l (]c> Massstabes von a x betragende Entfernung 

 besitzt. Sodann bestimmen wir eine mögliehst kleine derartige Zahl 

 n 2 , dass q„ im Innern eines Ziegelquadrates a 2 zweiter Ordnung 

 von /S liegt und vom Etande von a 2 eine wenigstens J des Mass- 

 stabes von tf.> betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser 

 Weise fortfahrën und überdies der eindeutigen Bestimmtheit wegen 

 für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von a v mögliehst gross 

 vviihlen, erzeugen wir eine Quadratfolge a i , a 2 ,. . . , welche einen mit 

 P zusammenfallenden Punkt von tt^ darstellt. 



Sei E ein willkürliches Quadrat x,. Der Einfachheit halber wollen 

 wir im weiteren je zwei Quadrate k dei' gieiehen Seitenlange wie 

 E, samt den zu ihnen gehörigen Punkten der Ebene, deren recht- 

 winklige Cartesisehe Koordinaten endliche Dualbrüche sind, ihrer 

 Kongruenz entspreehend identitiziert denken, worin, weil die von 

 uns betrachteten Punktspecies als geschrankt vorausgesetzt werden, 

 keinerlei Beschranknng liegt. 



Seien k' , k' , *'",.. . die Quadrate des Bereichs (2. Sei /„ das 



