22 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHÀ.NGIG VOM 



Minimum der Seitenlangen von k' , k" , . . .yS v ' und M v die Menge 

 derjenigen Teilquadrate von E der Seitenlânge /„, welche von keinem 

 der Quadrate x.' , y" , . . .x> v ' überdeckt werden. Die Species der fiir 

 jedes v zu M v gehörigen Punkte bildet eine abgeschlossene ganze 

 Species k = K((&), welche wir das Komplement von /3 nennen 

 werden. Ebenso werden wir /3 als das Komplement K(k) von k 

 bezeichnen. Wenn wir die Species der Punkte der Ebene kurz als E 

 bezeichnen, so sïnd /3 und k Komplementarspecies voneinander in E. 

 Wenn À."(/3) mit einer katalogisierten Punktspeçies zusammenfallt, 

 so nennen wir (2 komplementar katalogisiert. Insbesondere ist also 

 jedes Gebiet ein kompleinentiir katalogisierter Bereich. 



Die Vereinigung einer endlichen Menge some einer Fundamental' 

 rei he von Bereichen 1st wieder urn ein Bereich. 



Die endliche Bereichmenge B heisst durclisichtig , erstens wenn 

 ein Quadrat x angegeben werden kann, das von jedem Eleinente 

 von B überdeckt wird, ziceitens wenn kein Quadrat k existieren 

 kann, das von jedem Elementc von B überdeckt wird. 



Eer Durclischnitt einer durchsichiigen endlichen Menge von Be- 

 reichen ffillt entweder fort, oder ist wiederum ein Bereich. 



Unter einer innern Grenzspecies verstellen wir den Durclischnitt 

 /einer Fundamentalreihe /3,, /3 2 , . . . von Bereichen. Wenn I wenig- 

 stens einen Piinkt enthalt, so dürfen wir annehinen, dass jedes 

 Quadrat von /3 V+1 von /3„ überdeckt wird. 



Jede mit einer katalogisierten Punktspeçies z usam me nf oliënde innere 

 Grenzspecies fallt mit einer Punktmenge zasammen. Um dies zu 

 beweisen, konstruieren wir in der oben angegebenen Weise die 

 Ziegelquadrate von fa und zu einem vvillkürlichen Ziegelquadrate 

 q A von fa zwei solche konzentrische Quadrate q\ und q'\, dass die 

 Entfernung des Randes von q\ bzw. q\ voin Rande von q i , J- bzw. 

 ylg des Massstabes von q x betrâgt. Alsdann können wir nach einem 

 bestimmten Verfahren mit Sicheiheit feststellen , entweder dass alle 

 Punkte von I ausserhalb q\ liegen, oder class zu I in q\ enthal- 

 tene Punkte gehören. lm ersteren Falie bezeichnen wir q x als un- 

 wesentliches, im letzteren Falie als wesentlich.es Ziegelquadrat von 

 fa. Sodann zerlegen wir die Quadrate von /3 2 in solcher Weise in 

 als modi fi zier te Quadrate von fa 2 zu bezeichnende, von keinem 

 Ziegelquadrate von fa zerlegte Quadrate k, dass die Seitenlangen 

 der innerhalb eines willkürlichen Ziegelquadrates z i von fa liegenden 

 modifizierten Quadrate von (2 2 höchstens yL d e s Massstabes von z x 

 betragcn, im übrigen aber möglichst gross sind. Aus den modifi- 

 zierten Quadraten von fa leiten wir in der oben angegebenen Weise 



