30 REGRÜNDTJNG DEE MENGENLEHRE UNABHÂNGIG VOM 



werden darf, dass a' v mid a" v kein gemeinsaiues Quadrat K mv entlialten 

 und zusammen das Quadrat E vollstiindig iiberdecken, drittens, 

 dass, wenn Q in mehr als einer Weise der Messbarkeitsdefinition 

 genilgt, die entsprechenden limitierten Folgen i gleich sind. Wir 

 bezeichnen diese limitierten Folgen als den Inhalt von Q. 



Offenbar werden von dieser allgemeinen Inhaltsdefinition beson- 

 dere Falle geliefert (lurch die vorausgeschikten Definitionen des 

 Inhaltes von messbaren Bereichen, Bereichkomplementen und àus- 

 seren Grenzspecies. 



Wenn wir die Species derjenigen Punkte, welche nnmoglich zu 

 Q gehören können, mit C(Q) bezeichnen, so ziekt die Messbarkeit 

 von Q die Messbarkeit con C{Q) nach sic//. Für die umgekehrte 

 Aussage liegen keine zureichenden Griinde vor. 



Zu jeder messbaren Punktspecies Q von/ Inhalte i existieren zwei 

 derartige messbare konsolidierte àussere Grenzspecies A' Q und A" Q der 

 Inhalte i und 1 — i, dass ein willMrlicher Ptcnkt von A ' Q zu Q 

 gehort und ein mllkiirlicher Punkt von A" Q unmoglich zu Q gebo- 

 ren kann. 



Zum Beweise dieses Satzes bezeichnen wir @(/3 v , (2 V+U . . .) mit 

 /3° v , das Komplement von /3° v mit k° v , ®(«' v , k° v ) mit e v , ®(d\ , a v+i , . . . ) 

 mit f V! ^){e,,f,) mit b v . Alsdann ist /3° v ein niessbarer Bereich, 



dessen Inhalt i° v kleiner als ist. Weiter ist der Durchschnitt 



k)V— 1 



lil 



von k° v mit einem willkiii lichen Quadrate /., das von a' v überdeckt 

 wird, aber für irgend ein positives A von ®(«' v , a' v+u . . . a' v+? ) 

 weder ganz noch teilweise fiberdeckt wird, ein messbares Bereich- 

 komplement, das keinen Punkt enthalten kann, mithin den Inhalt 

 Null besitzt. Hieraus folgt, dass nicht nur e v , sondern auch b v ein 

 messbares Bereichkomplement ist, wahrend e v und b v gleiche Inhalte 



besitzen, so dass der Inhalt von b v grosser als i' v ist. Die 



ù 



aussere Grenzspecies ^>{b u b 2 , . . .) ist somit messbar, besitzt den 

 Inhalt i und enthalt eine messbare konsolidierte àussere Grenzspecies 

 A'q vom Inhalt i als Teilspecies. Genau analog wird A" Q bestimmt. 

 Punktspecies der geforderten Art können auch wie folgt herge- 

 stellt werden: Der Durchschnitt eines willkiirlichen Quadrates k, 

 das von a' v weder ganz noch teilweise überdeckt wird aber für 

 irgend ein positives A von a' vfA überdeckt wird, mit dein Komple- 

 ment von 0(/3„, /3„ +A ) ist ein messbares Bereichkomplement, das 

 keinen Punkt enthalten kann, mithin den Inhalt Null besitzt, so 



