LOGLSCHEN SATZ VOM AÜSGESCHLOSSENEN BRITTEN. 31 



class die Differenz der Inhalte von a' v und &{a\, a' v+l ) kleiner als 



und die Differenz der Inhalte von d' v und deui vereinigenden 



2 " _1 . , , . 1 



Bereichkoniplemente von d' v und d' v+i kleiner als - - ist. Weil 



mi thin die Inhalte der vereinigenden Bereichkoniplemente der An- 

 fangssegmente der Fundanieiitalreihe von inessbaren Bereichkomple- 

 menten d\, d' 2 ,. . . eine limitierte Folge bilden, so kann eine in 

 &(d\, d' 2 , ... ) eiithaltene, mit der vereinigenden âussern Grenz- 

 species von d' u </.>,. . . inhaltsgleiche, messbare konsolidierte àussere 

 Grenzspecies A' n bestimmt werden. Der Inhalt °i' von A' (l kann nicht 

 <! i sein. In analoger Weise konstruieren wir eine in &{d'\, d" 2 , . . .) 

 enthaltene, mit der vereinigenden iiussern Grenzspecies von d'\, d" 2 , . . . 

 inhaltsgleiche, messbare konsolidierte àussere Grenzspecies A" n , deren 

 Inhalt °i" nicht •< 1 — i sein kann. Wenn nun V -\- °i" >> 1 ware, 

 so wfirde ein messbares Bereichkomplement positiven Inhaltes exi- 

 stieren, das sowohl zu A' Q wie zu A" Q gehorte, von dem mithin ein 

 willkiirlicher Punkt einer$eits zu Q gehorte, andererseits uninöglich 

 zu Q gehören könnte. Ans diesem Widerspruche folgt also, dass 



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I 



i und °i" — 1 — i ist. 



Umgekehrt folgt aus der Definition der Messbarkeit in ihrer 

 urspri'mglichen Form unmittelbar: Wenn zu eiuer Punktspecies Q 

 ztcei derartige messbare àussere Grenzspecies A' Q und A" () der Inhalte 

 i und 1 — i existieren, dass ein willkürlicher Punkt von A' n zu Q 

 gehort und ein willkiirlicher Pun/it von A" Q unniöglich zu Q gehören 

 kann, so ist Q messbar und besitzt den Inhalt i. 



Seien t Q und 2 Q zwei messbare Punktspecies. Sei 3 a" v der Durch- 

 schnitt von A a" v und 9 a" y , b' v eine solche zu .,«'„ gehörige und t a v 

 nicht berührende endliche Quadratmenge, dass die Differenz der 



Inhalte von @(// v , 2 a' v ) und 3 a v = ^^a», b' v ) weniger als 



a 



betrâgt, 3 /3„ die Vereinigung von 1 /3„ und 2 (2 V , Jc v das Komplement 



von 3 (2 V . Alsdann ist der Inhalt 3 /„ von 3 /3 v kleiner als und 



die Summe der Inhalte s i' v und 3 i" v von 3 a v und s a" v grosser als 

 1 , wahrend ein willkiirlicher Punkt des Durchschnittes „d' v 



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bzw.. 3 d" v von 3 a' v bzw. 3 a" v mit 3 k v zu ©GQ, 2 Q) gehort bzw. un- 

 inöglich zu $5(iQ, Q) gehören kann. Hieraus folgt auf Grund der 

 Messbarkeitsdefinition in ihrer urspri'mglichen Form, dass audi 

 @(iQ, 2 Q) messbar ist. Mithin gilt der Satz: 



