PHYSICAS E NATCEAES 67 



ROTA SOBRE OS DETERMINANTES 



POR 



FRANCISCO DA PONTE HORTA 



Em nosso Estudo elementar dos determinantes, pag. 10, | 22, es- 

 tabelece-se o seguinte: 



«Abrangendo em uma só proposição as faculdades de desloca- 

 mento de que gosam as linhas e as columnas do determinante, §§18 

 e 20, diremos: 



«Dois grupos de m 2 elementos, eguaes de parte a parte, represen- 

 tados pelas mesmas m lettras e m Índices, dispostos em determinantes, 

 isto é, em quadrados, de modo que em cada um haja a mesma lettra 

 em cada columna, e o mesmo Índice em cada linha, ou vice versa; 

 constituem determinantes eguaes do mesmo ou contrario signal, con- 

 forme os respectivos principaes forem da mesma ou differente classe.» 



Desenvolveremos agora esta proposição do seguinte modo : 



Os deslocamentos a que se recorre para alterar a posição dos ele- 

 mentos no quadro do determinante, reduzem-se sempre á troca reci- 

 proca das columnas em linhas, ou a permutação de columnas ou de 

 linhas. Ha porém certos grupos d'estes deslocamentos que podem ob- 

 ter-se de golpe por simples rotações do quadro do determinante em 

 torno da primeira ou segunda diagonal, ou sobre o centro do respe- 

 ctivo quadro (intersecção das duas diagonaes), sem que este saia do 

 seu plano. 



1 .° Já vimos que a mudança das columnas em linhas, e vice versa, 

 mantendo-se entre estas a ordem primittiva, se obtém pela rotação de 

 180° do quadro do determinante sobre a primeira diagonal. 



2.° Este mesmo movimento, seguido da troca entre si das colum- 

 nas equidistantes do centro, e bem assim das linhas, obtém- se pela ro- 

 tação de 180° do quadro do determinante sobre a segunda diagonal. 



3.° Se em seguida á mudança das columnas em linhas, tivermos 

 de effectuar a troca reciproca das columnas equidistantes do centro, 

 ou das linhas, bastará que o quadro do determinante gire de 90° so- 

 bre o centro, sem sahir do seu plano. 



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