08 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



4.° A troca reciproca das columnas equidistantes do centro, se- 

 guida de idêntica troca entre as linhas, se obterá pela simples rotação 

 de 180° do quadro do determinante sobre o centro, sem sahir do seu 

 plano. 



Deve porém advertir-se que no 3.° caso, em que as diagonaes 

 trocam de logar entre si, o determinante, supposto do grau m, muda 

 ou não de signal, conforme um dos dois números m em — 1 for sim- 

 ples ou duplamente par. 



Considera-se no mesmo trabalho a symetria dos elementos do de- 

 terminante somente em relação á primeira diagonal. Ha porém van- 

 tagem em consideral-a também relativamente á segunda, posto se con- 

 siga por uma simples rotação que estas troquem de logar entre si. Nem 

 é sem importância o referil-a ao centro do quadro do determinante. 



Nas duas primeiras espécies de symetria são conjugados os ele- 

 mentos collocados nas mesmas perpendiculares ás respectivas diago- 

 naes, e equidistantes d'ellas. 



Sao conjugados na terceira, os elementos collocados na mesma re- 

 cta passando pelo centro do quadro, e equidistantes do referido centro. 



São pois conjugados no determinante do grau m: 



da l. a espécie os elementos. ... a k e a. : 

 da 2. a » » .... a. e d,.: 



% kl 



1 O a i if 



da o. » » . . . . a J; e a kf : 



sendo k! e i' os complementares de k e i para m-\-l. 



As denominações de determinantes simétricos ou contra- sy métri- 

 cos poderão extender-se ás três espécies de symetria, accrescentando, 

 quando tivermos de as distinguir, as palavras directo, inverso, ou cen- 

 tral, segundo o caso. 



É escusado tratar separadamente cada uma d'estas espécies, po- 

 dendo applicar-se a todas ellas as proposições dos §§ 26, 21 , 34, 35 e 

 36; cujo fundamento é a conservação do valor e signal do determinante 

 quando os elementos conjugados trocam de logar entre si. N'este pro- 

 pósito, poderão denominar- se inconjugados os elementos das diagonaes 

 que constituírem eixos de symetria, e bem assim ao elemento central; 

 e por conseguinte substituir n'aquella proposição a phrase diagonal 

 vazia por inconjugados nullos; e a mudança de columnas em linhas pela 

 troca reciproca de logar entre os elementos conjugados. 



Os determinantes podem oíFerecer ainda outras particularidades 



