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JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



6 



1 



2,5 3,4 



a 1 +a 1 a 1 +a 1 





í 



6 



2 5 

 «1— «1 



3 4 



! 



2,5 3,4 



a 2 +a 2 a 2 -j~a 2 



X 



i 



V 



6 



2 5 

 «2— «2 



3 4 

 ^2— «2 



6 

 3 



2,5 3.4 





i 



a 3 - 



-4 



. 2 5 

 «3— a S 



3 4 

 a 3~ «3 



)CÍ 



i é evidente: 













1 I ( 



A reciproca 



Com effeito, se comparar-mos os dois últimos determinantes, in- 

 teiramente independentes entre si, com o primeiro, ver-se-ha que, o 

 producto de dois determinantes do grau mse pode representar por um 

 determinante symetrico central do grau 2 m. N'este, os primeiros m 

 termos das primeiras m linhas, são as semi-sommas dos corresponden- 

 tes termos dos factores; emquanto que os seguintes m termos das mes- 

 mas linhas são as semidifferenças d'esses mesmos termos, percorridos 

 em ordem inversa. As restantes m linhas completam-se pela condição 

 de ser symetrico central o determinante procurado. — Syr Thomas Muir 

 demonstra esta proposição directamente. 



Deduz-se das formulas (A), mudando os signaes aos segundos 

 membros, que os determinantes bi-contra-symetricos são symetricos cen- 

 traes quando oó elementos das duas diagonaes forem nullos. 



O determinante bi-contra-symetrico de grau duplo de impar, cujos 

 elementos incon) ligados forem nullos, é egual a. zero. Se o grau for 

 porém duplo de par, o determinante terá por valor o producto de dois 

 quadrados. 



Seja o determinante 





A= 







2 3 4 



a Y a x a ± 



— a ± .0 a 2 a 2 



— a 1 — a 2 



■a* 







a a a a — a, 



5 4 3 



a 1 a ± a ± 



Como este determinante é symetrico central, teremos 



çâo que vamos produzir de uma parte da sua proposição, posto que partíssemos 

 de um determinante symetrico de grau par, não differe essencialmente da sua ; en- 

 tretanto seguimos esta marcha, porque na demonstração da proposição 27 vae in- 

 cluído o determinante contra- symetrico central. 



