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é estesa a quelli tra essi nei quali é D s <.a: 2" a quelli nei quali é 

 D s > a ; esse»do a positivo, prefissato piccolo a piacere, L e l i limiti 

 superiore e inferiore della <p{x, y) in tutto ABCD. 



Si consideri una successione di rettangoli o s aventi le diagonali sopra 

 una stessa parallela alla diagonale AC: lungo una tal retta la funzione 

 non decresce nel verso da A a C: epperó tra quei rettangoli non ve ne 

 é se non un numero p, nei quali sia D s > a, dovendo essere 



per < L — l 



e per un a fìsso, il numero p è indipendente dal numero totale dei ret- 

 tangoli o s che ricoprono l' intero rettangolo. 



a b 



Siano — , — i due lati di uno degli o s , a e b essendo le lunghezze 



m m ° 



dei lati del rettangolo intero : si avrà 



0, 



ab 

 m 



e quindi 



ab 

 I>a s D s < 2'g7 s (7 -+- (L — l)p • 2m —» , 



rrr 



giacché le successioni di rettangoli aventi le diagonali allineate lungo una 

 stessa parallela alla AC, sono in numero di 2 ni — 1. 



Il a può essere prefissato piccolo a piacere : tri indipendentemente da 

 g può esser fatto grande a piacere e poiché p non cresce se a rimane 

 fisso, cosi risulta chiaro che 2,q s D s , impiccolendo la diagonale di a Sì può 

 esser fatta di quella piccolezza che si vuole. 



Analoga proposizione vale per una funzione non crescente. 



2. Sia f(x, y) una funzione avente limiti superiore e inferiore nel campo 

 ABCD e atta all'integrazione. 



Si immagini una linea formata di un numero finito di tratti rettilinei 

 paralleli agli assi, che unisce un punto dal lato AD con un punto del lato 

 BC: fra i tratti che la compongono potendo alcuni giacere sui lati AB e 



CD medesimi. Se si astrae dai tratti paralleli ad AD, nessuna perpendi- 

 colare al lato AB intersechi la linea in più di un punto. 



