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Ognuna di tali linee divide il campo in due parti: l'inferiore del cui 

 contorno fa parte il lato AB, la superiore del cui contorno fa parte il 

 lato CD. 



Si consideri l'integrale della f(x, y) esteso alla parte inferiore. 



Gli integrali di campo corrispondenti cosi a tutte le linee possibili, sod- 

 disfacenti alle condizioni anzidette, formano un gruppo di numeri aventi 

 un limite inferiore a e un limite superiore A. 



3. Sia ora diviso il rettangolo ABCD in parti arbitrarie o s , che, per 

 semplicità, possono prendersi rettangolari e coi lati paralleli a quelli di 

 ABCD. Se le diagonali degli o s sono tutte abbastanza piccole, la 2o s D s 

 estesa a tutto il rettangolo ABCD e dove le D s sono le oscillazioni rispet- 

 tive nelle parti o s , può rendersi minore di a, a scelto piccolo a piacere. 

 Sarà, a più forte ragione, minore di a ogni altra somma H'(D S D S estesa 

 agli o s , o a parti di o s , contenute in un campo che è parte del rettangolo 

 ABCD; quindi la somma I>'o s f s , f s essendo un valore compreso tra i li- 

 miti superiore e inferiore della /{oc, y) in o s ; differirà dall' integrale corri- 

 spondente allo stesso campo, in valore assoluto, per meno di a. 



Le somme Z'a s fs corrispondenti ai campi inferiori determinati da tutte 

 le possibili linee a tratti rettilinei dianzi descritte, quando le diagonali 

 degli o s siano sufficientemente piccole, cadranno tutte tra 



a — a e A 4- a , 



Si scelga ora a piacere un altro numero a l indipendente da a : si potrà 

 sempre trovare una delle anzidette linee a tratti, alla quale, secondo il 

 modo superiormente stabilito, corrisponde un' integrale che differisce da a 

 per meno di a 1 . Si indichi con \ una tale linea. 



Similmente si troverà un'altra linea /, a cui corrisponde un integrale 

 che differisce da A per meno di a x . 



Le linee l x e l 2 abbiano le rispettive rappresentazioni parametriche 



30 =/,{() , y = ft(0 

 00 =f 2 (t) , y = <p 2 (t) 



per t variabile da t a t x . 



Per t=t si abbia per ognuna il punto iniziale sul lato AD: per t=t l 

 il punto finale sul lato BC. Ad es. si può assumere come parametro t la 

 lunghezza s dell'arco contata sulla prima curva a partire dal punto ini- 

 ziale : se é s x la lunghezza totale della prima e s 2 quella della seconda, 



s 

 mentre s percorre l'intervallo 0...s 1 , —s percorrerà quello 0...s 2 . 



Serie V. — Tomo X. 14 



