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 Si formi il gruppo di curve 





a 



— 



a 2 



a x 





■ a 2 



a 





«2 



^AW^-.tt + WO? 



a x — a 2 a x — a 2 



dove a può assumere tutti i valori 



«,<«<«„ 



Ognuna di esse divide pure il rettangolo in due parti, unendo un punto 

 del lato AD intermedio fra i punti iniziali di l x e l 2 con un punto del lato 

 BC intermedio fra i punti estremi di l x e l s . Da una perpendicolare al lato 

 AB ognuna delle curve del gruppo, se si astrae dai possibili tratti paral- 

 leli all'asse y, è incontrata in un punto solo, giacché oc è sempre non de- 

 crescente con t variabile da t a t x . 



Il gruppo di curve cosi definito costituisce una varietà continua di enti; 

 vale a divo,, perfetta e ben concatenata) e se si ha una funzione avente va- 

 lore determinato per ognuna di tali curve e inoltre dotata della continuità, 

 sono validi per tale funzione i teoremi delle funzioni continue di punti : 

 vi sono, cioè, curve che danno il massimo, il minimo e ogni valore inter- 

 medio, per la funzione medesima ( *>. 



Che le curve del gruppo sieno egualmente continue resulta dall' osser- 

 vare che sono tali le espressioni di x e di y date sopra, perchè i rispet- 

 tivi rapporti incrementali sono 



ftf + h)—f x <jt) a — a 2 f,{t^-h)—f 2 (t) a x — a 



• • -■ [ ■■ * ■ 



h a x — a 2 h a x — a 2 



<pit-*-h) — (p x (t) a — a 2 <p 2 (t-\-h) — <p{t) a x — a 



■ ■ — | — • 



h otj — a 2 h a x — a 2 



e rimangono, in valore assoluto, sempre inferiori a un numero finito, se 

 ciò accade pei rapporti incrementali delle f x (t), f 2 {t) , <p x (t), <fi 2 (t). Ora per 

 queste la cosa è manifesta. Prendendo 



f x (t) = s e f 2 (t) = ^s 



(*) Vedi mia nota sulle funzioni di lùtee: rendiconti dei Lincei 1889 e anche l'altra omonima 

 negli atti dell'Accademia di Bologna (1895). 



