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 i rapporti incrementali delle f{t) e (p^t) cadono sempre tra — 1 e -+-1: 



quelli delle f 2 (t) e <j) 2 (t) cadono tra — -^ e -^ . 



s 1 s 1 



Che la varietà delle curve sia perfetta resulta dall' osservare che ognuna 

 di esse corrisponde ad un valore del parametro a e reciprocamente ; e a 

 percorre l'intervallo aj...oc 2 . 



Essendo perfetto il gruppo dei valori a, lo é qui anche il gruppo delle 

 curve corrispondenti. 



È anche evidente che, per la stessa ragione, é ben concatenata ; se si 

 fissano, cioè, due qualunque delle curve della varietà, corrispondenti ai 

 valori a' e a", l'insieme delle curve a), per a variabile tra a' e a", allaccia 

 la curva a') alla curva a") in modo che preso e piccolo a piacere, con 

 un numero finito di curve dell'insieme discoste ognuna dalla precedente 

 per meno di s, si va dalla a') alla a") ; e inoltre ogni curva di tale insie- 

 me é ente limite per ogni successione di curve dell'insieme medesimo, 

 che a quella si avvicinano indefinitamente. 



Ciò premesso, indichi C s una generica delle curve della varietà : T s la 

 parte inferiore da essa determinata nel rettangolo : l' integrale 



JJ- 



f{x , y)doody 



é una funzione delle curve C s e, come è presto veduto, funzione continua 

 nella varietà (C s ); giacché se una curva C s è il limite delle curve C Si ,C Sì ... 



l'integrale \ìf(x,y)dxdy lo é degli integrali 



\\j(&> y)dxdy , I i f(oc , y)dxdy , . . . 



Ts 1 J J Ts } 



Nella varietà esisterà dunque una curva C x che fa acquistare all' inte- 

 grale il suo valore massimo : una curva C 2 che gli fa acquistare il minimo. 



Sia il massimo A x , il minimo a r Si osservi che data una curva C s si 

 può sempre costruire una linea C' s a tratti paralleli agli assi, che in ogni 

 punto è discosta dalla C s per tanto poco quanto si vuole : in modo che 

 P integrale esteso al campo inferiore T' s determinato dalla C' s differisce da 

 quello esteso al campo T s per cosi poco come si vuole. 



Si potranno dunque gli integrali estesi ai campi inferiori determinati 

 dalle C s , sostituire, all' infuori di quantità tutte minori di un numero pic- 

 colo a piacere, con integrali estesi ai campi inferiori determinati da linee 

 C' s composte di tratti paralleli agli assi e ad ascissa non decrescente. 



Non potrà essere A x > A , giacché se fosse A x — A — e > si trove- 

 rebbe una linea a tratti paralleli agli assi, alla quale corrisponderebbe, 



