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e 



nel modo noto, un integrale differente da A 1 per meno di - : il valore del 



quale supererebbe dunque A. 

 Per conseguenza é 



A — o x < A x < A 



a -+- o j > « x > a . 



Variando la curva C s nella varietà sopra definita l' integrale 



f(oc, ij)dxdy 

 t s 



assumerà tutti i valori fra a x e A 1 , questi inclusi. 



Ih 



4. Il prodotto f(x, y)-<p{x, y), dove la <p(x, y) è sempre positiva non 

 crescente secondo il verso positivo degli assi, è atto all' integrazione nel 

 rettangolo ABCD, e lo é del pari in ogni sua parte. 



Si calcoli 



dove a rìS è uno qualunque dei rettangoletti, in cui con rette parallele ai lati 

 si intende decomposto il rettangolo ABCD : f r>s un valore compreso tra i 

 limiti inferiore e superiore della f(x, y) in o KS ; analogo significato ha (p r>s 

 e la 2 é estesa alla totalità di quei rettangoli. 



Il contributo di una striscia compresa fra due parallele al lato AD è 



Per un noto lemma di Abel si ha 



Uytpr,! 2ì. -^ ®r,sJr,s<P r ,s —ì A r (pr,i 



essendo a' r e A' r due numeri tra cui sono comprese tutte le somme 

 Sommando a tutte le striscie, resulterà 



m i'i 



^ r a' r (p r<l < 2(D r<s fr, s (pr,s < 2 r A[.(p r>l , 

 1 1 



la 2c>r iS f,. !S (py !S estesa a tutto il rettangolo ABCD. 



