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Per conseguenza esisterà una delle curve C s atta a soddisfare l' egua- 

 glianza 



-j-J j f(x, y)<p(x, y)docdy = jj f(x , y)dxdy 



6, Si consideri che sia I=a, ovvero =A. Sia I=a: se non esiste una 

 delle curve C s per la quale sia soddisfatta la precedente eguaglianza, si 

 potrà sempre trovare una successione di linee, 



' « ' * t ■ • • • 



composte di tratti tutti paralleli agli assi, alle quali, nel modo descritto, 

 corrispondono integrali 



IT/O , y)dxdy , i I f(x , #)cfo% , . . 



JJ T' JJ T" 



aventi per limite a. 



Ora può accadere che il numero dei tratti componenti le /', /", /'",... 

 aumenti indefinitamente : nel quale caso non si potrebbe assicurare per 

 esse l'esistenza di una curva-limite continua e ad ascissa sempre non de- 

 crescente. 



In questo caso ci limiteremo a dire che, preso un e piccolo a piacere, 

 vi é sempre una curva a tratti paralleli agli assi, cui corrisponde un campo 

 inferiore T tale che 



! I fi x ? y)dxdy = a -+- s ' con e' < e , 



e quindi 



-j- I J f{sc , y)<p(oc , y)dxdy = jj f(x , y) — e' . 



Analogamente dicasi se fosse I=A. 



7. Riassumendo : se f(x, y) è integrabile nel rettangolo R, e <p(x., y) non 

 crescente secondo il verso positivo degli assi, esiste sempre una curva conti- 

 nua, ad ascissa non decrescente nel verso da A a B, che unendo un punto 

 del lato AD con un punto del lato CB spezza il rettangolo R in due parti, 

 una l'inferiore T, V altra la superiore R — T, siffatte che è 



J ) /(« > y)dxdy = -j- jj /(a? , y)<p(x, y)dxdy 



