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della binormale, le equazioni di una qualunque delle curve trasformate 

 saranno evidentemente le seguenti : 



(3) x x = x -+- a cos /e(cos a sen <p cos a -+- cos (p cos £ -+- sen a sen (p cos À) , 



omettendo di scrivere le analoghe che danno i valori di y l e z l . 



Mediante queste forinole é facile calcolare tutti gli elementi relativi 

 alla curva trasformata (3), come è dimostrato nella Nota su riferita; qui 

 ci basterà riportare quelle che esprimono i coseni degli angoli che la di- 

 rezione positiva della normale principale alla curva fa cogli assi, dovendo 

 in seguito servircene. Se con £ 1? jp, , £, indichiamo questi angoli, si hanno 

 cioè le forinole : 



„ cos k .sen <z> (cos k coso* cos -+- sen k sena) 



(4) COS§,=:- — -r COSttH- 



cos& cos0(cos& cos0 — sen o)-\- sen k (sen k -+- coso - ) 

 _i r\ r. — ^ ì cos ^ — 



— cos k sen <^ cos X , . . . . 



ove per semplicità si é posto 



(5) A = 1 -i- sen /e cos a — cos k sen a cos^ . 



2. Questi risultameli, convenientemente modificati, si estendono alle 

 superficie, che sono caratterizzate dalla proprietà di avere un sistema di 

 geodetiche costituito da curve del Bertrand della stessa famiglia; giac- 

 ché faremo vedere come, integrando anzi che la (2) una certa equazione 

 ai differenziali totali del tipo di Ri ce a ti, sia possibile da una superfìcie 

 cognita della classe dedurne una doppia infinità, da ciascuna delie quali, 

 applicando lo stesso procedimento, un'altra doppia infinità, e cosi via, si 

 ottenga cioè un metodo di trasformazione, che presenta una singolare ana- 

 logia con quello notissimo del Bàcklund per le superficie pseudosferiche. 



Ma prima di passare ad esporlo, converrà formare l' equazione (alle 

 derivate parziali quarte) da cui dipende la ricerca generale delle superfìcie 

 suddette, e cosi si renderà anche più manifesta la semplicità del metodo. 



3. Ammesso dunque che S sia una tale superficie, scegliamo su di 

 essa per linee coordinate le geodetiche in discorso e le loro traiettorie 

 ortogonali, per modo che il suo elemento lineare assuma la forma 



ds 2 = du? -+- Gdo 2 , 



