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e le analoghe rispetto alle derivate di y l e s x . 



Assoggettiamo ora la (p a soddisfare 1' equazione 



/M ^ ì(p ^ D' sena — cosk cosd 



(11) - 1 - = D cosa -\ =seno-H ; r— ^ ; 



<>& i/£ a(cos (7 -+- sen k) 



allora per ogni valore di e>, ossia per ogni geodetica v di S, questa equa- 

 zione coinciderà colla (2), e le (9), per quanto abbiamo detto al N. 1, ci 

 rappresenteranno una doppia infinità di curve del Bertrand della stessa 

 famiglia, di cui i coseni di direzione della normale principale saranno 

 espressi dalla (4), ove si faccia 



cosa = X 2 , .... ', cos£ = X 3 , .... ; cos/ì. = X l . .... 



e quindi avranno i valori : 



.._. v , ,„ cos & sen (Z> (cos Ascosa cos (Z> -+- senksena)^ 



(12) cos£, = — cos&senflJX.H— — -^ -f ; — -X-+- 



1 ' 1 -+- sen k cos a — cosk sena costp 2 



cos^cos(^(cosA'cos^ — sena)-Hsen/£(sen&-i-cosa) 



1 -+- sen k cos a — cos k sena cos <p 3? " 



Considerando tutte le trasformate delle geodetiche e di S, che per ogni 

 valore della costante k costituiscono quindi una doppia infinità di curve, 

 scegliamo per ognuna di queste geodetiche una delle sue infinite trasfor- 

 mate e poniamo la condizione che il loro insieme costituisca una super- 

 ficie, di cui le curve stesse siano geodetiche. Basterà per ciò soddisfare 

 all' equazione 



V E Ò3C \ A 



ovvero per le (10) e (12), all'altra: 



1/ G -+- a cos k \ cos ©( sen a = ) -+- cos a sen — — I X 



X(l-*-sen/eeosa — cos k sen a - cos <p)-+- a cos /e (cos /ireos a cos ^n- sen k sen e) X 



X I cos^/cosa^- — D'j — sena sen <p-^ — I -+- 



-l- a\ cosk cos (p (cos k cos<p — sena) -+- sen k( sen k -+- cosa) I X 



D'cosa h = sena — ~) = , 



/G W 



