SULL' ESISTENZA DEGLI INTEGRA 



L. 



NELLE 



EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 



NOTA 



DEL 



PROF. CESARE ARZELA 



(Letta nella Sessione del 12 Aprile 1806). 



11 procedimento col quale, nella memoria Sulle funzioni di linee, pre- 

 sentata l'anno scorso a questa Accademia, io ho stabilito il teorema del 

 prof. Ascoli relativo alla condizione affinché una successione di funzioni 

 continue ammetta una funzione limite continua, si presta, con lievissime 

 modificazioni, a porre una proposizione più generale che dà la condizione 

 necessaria e sufficiente perché una successione di funzioni, delle quali solo 

 é presupposto che siano tutte contenute tra limiti finiti, converga a una 

 funzione limite continua. 



Questa nota ha appunto lo scopo di enunciare questa generalizzazione 

 e di applicarla a semplificare ulteriormente la dimostrazione dell'esistenza 

 degli integrali nelle equazioni differenziali ordinarie. 



In altra nota, servendomi della proposizione medesima opportunamente 

 estesa a più variabili, dimostrerò l'esistenza degli integrali nelle equazioni 

 a derivate parziali in modo analogo a quello esposto qui per le equazioni 

 differenziali ordinarie. 



1. Sia 



(«) 



u x {x) u 2 (x) 



una successione di funzioni della variabile x nell'intervallo da a a b, delie 

 quali solo si presuppone che siano tutte contenute fra l e L, nu- 

 meri finiti. 



Come é noto, se u(x) è una funzione tale che per ogni numero posi- 

 tivo a piccolo a piacere si può determinare un intero m cosifatto che per 



