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 n> m si abbia, in tutto l'intervallo 



| v(x) — u n {cc) | < a , 



la v{x) si dice funzione limite della successione oc). 



Quand'é che per una successione come la oc) esiste una funzione li- 

 mite v{x) continua in ogni punto tra a e b ? 



A questa domanda risponde la seguente proposizione. 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè esista per la successione oc) 

 una funzione limite continua v(x) è che, preso un numero positivo a piccolo 

 a piacere, si possa sempre trovare un numero positivo d e un intero m tale 

 che tutte le 



in un tratto qualsiasi di ampiezza minore di d, facciano un' oscillazione 

 inferiore a o. 



La dimostrazione di questa proposizione è, come s'è annunciato, salvo 

 qualche lieve modificazione, quella stessa che é esposta al n.° 3 della me- 

 moria Sulle funzioni di linee presentata l'anno scorso a questa Accademia. 

 Crediamo però opportuno rifarla qui trattandosi di stabilire una proposi- 

 zione fondamentale. 



1° La successione oc) ammetta la funzione limite continua v{x). 



Preso a a piacere, si potrà determinare un intero m tale che per 

 ogni n > m si abbia in tutto a...b 



| u n {x) — vix) | < G 



e per la continuità di v{x) si determinerà anche un numero d, tale che in 

 ogni tratto di ampiezza minore di d, la v(x) fa un'oscillazione minore 

 di (7 : ognuna delle 



ne farà dunque una inferiore a 3(7. 



La condizione enunciata é quindi necessaria. 



2° Reciprocamente, suppongasi che questa sia soddisfatta. 

 Siano le 



&) U mi {0C), Umi+i(pD) , . . . 







le funzioni che in ogni tratto d fanno un' oscillazione minore di - . 

 Si consideri il valore assoluto 



| u P ix) — u q (x) | 



