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della differenza tra due qualunque di quelle funzioni : in qualche punto x 

 esso potrà essere minore di 2(7, in altri eguale o maggiore. 

 Scegliamo fra le /?) quelle 



y) u Sl {€c) , u Sy {x) 



tali che la differenza 



| u Sp (x) — u Sq (x) | 



tra due qualunque di esse é, in qualche punto oc, maggiore o eguale a 2a 

 e mostriamo che il gruppo y) contiene solo un numero finito di funzioni. 

 Poiché, per ipotesi, le 



(7 



in un tratto minore di d, fanno ognuna, un'oscillazione minore di -, cosi 



(7 



una qualsiasi di esse potrà fare un'oscillazione maggiore di -, solamente 

 in un tratto che sia maggiore di d : quindi se x è un punto in cui é 



| u Sp (x) — u Sq (x) | > 2(7 



vi sarà tutto un tratto almeno eguale a d, nel quale, in ogni punto x, le 

 due u Sp (x), u Sa (x) sono discoste fra loro per una quantità che é maggiore 



3(7 



o eguale a — . 



Ciò premesso, pongasi, se é possibile che le y) siano in numero infinito. 

 Le differenze 



Ki— aj, \u Sl — u S3 \ ,... 



3(7 



sono ognuna, in qualche tratto d, maggiori o eguali sempre a — ; eviden- 



tv 



temente vi é un punto x che appartiene a infiniti di quei tratti d : in esso 



3(7 



x Q la u Sx {x) é dunque discosta da infinite delle funzioni y) per più di — 



(7 



e quindi poiché esse possono fare un'oscillazione maggiore di - sola- 

 mente in un tratto di ampiezza d, cosi vi sarà tutto un intorno almeno 

 eguale a <7 del punto x , nel quale saranno discoste per più di a . 

 Queste infinite funzioni cosi discoste dalla u Sl (x) sieno le 



y") u hì u hì u hì ... 



Delle differenze 



u,, — a h , u Sì — Ut, , ... 



»i 



