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alla successione data : se ciò non fosse, ve ne sarebbero infinite discoste 

 da tutte le y) per più di 2a in qualche punto, il che non può essere. 



Rimane cosi provato che nella successione data a) si trova sempre un 

 gruppo di infinite funzioni 



(X ) U nl] yX) ? WmSjK) ■> • • • 



le quali l'ima dall'altra differiscono in ogni punto x per meno di 4o\ 



Con ragionamento simile si prova che in questo gruppo a!) si trova un 

 sottogruppo a") di funzioni tali che, due a due, differiscono, in ogni punto 

 se, per meno di 4a 2 . 



Nel gruppo a'') poi un sottogruppo a'") di funzioni, che l' una dall'altra 

 differiscono per meno di 4a 3 in ogni punto. 



Si può cosi continuare indefinitamente. Indichi u h (x) una funzione ap- 

 partenente al gruppo a): u h {x) una appartenente al gruppo a'): u h (x) ad 

 a") etc. etc. : e ad es. si potrebbe prendere, in ciascun gruppo, quella col 

 più piccolo indice ; la successione delle funzioni. 



(a) u h (oo) , u h (x) , ... 



essendo preso <r < 1 , converge evidentemente, in egual grado, ad un'unica 

 funzione u(x), che si può anche riguardare come la somma della serie 



u h {x) -h (iiu{x) — u h (x)) -h (u h {x) — a tì (x)) -\ 



Si vede poi subito che la u(x) é continua, osservando che, preso e pic- 

 colo a piacere, si ha per ogni x. 



OO) — u tn {x)) < e 



se t n é abbastanza grande: e la u tn {o2) fa pure un'oscillazione minore di e 

 in ogni tratto di ampiezza d' ; quindi v(x) oscilla per meno di Se in ogni 

 tratto minore di d'. 



Con ciò é dimostrato quanto si voleva. 



2. Suppongasi in particolare che le funzioni u(x) della successione a) 

 siano tutte continue. 



Se si ricorda la definizione della eguale continuità data al n.° 3 della 

 memoria citata, si vede subito che il supporre verificata, in una succes- 

 sione di funzioni continue, la condizione trattata qui nel numero prece- 

 dente, equivale a supporre in esse la eguale continuità, giacché fissato il 

 solito (7, le funzioni 



u^x), u 2 (x), ... u m _ x {x) 



